Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3)$...

Ta có $AB=6$, Gọi $(C)$ là đường tròn giao của $(S)$ và $(P)$ có tâm $H$, bán kính $r$.
Đặt $AH=x$ $(0<x<6)$, ta có $V_{(N)}={\displaystyle \frac{1}{3}}AH\cdot S_{(C)}={\displaystyle \frac{1}{3}}AH\cdot \pi r^2.$
Do $AB$ là đường kính nên ta có $r^2=AH\cdot HB=x(6-x)$.
Khi đó $V_{(N)}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{x}^2(6-x)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(-x^3+6x^2)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}f(x)$.
Xét hàm số $f\left(x\right)=-x^3+6x^2$ trên $(0;6)$, $f^{\prime }(x)=-3x^2+12x,f^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=4\end{array}$.
Bảng biến thiên $f\left(x\right)$ :

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $V_{(N)}$ lớn nhất khi $x=4$ hay $AH={\displaystyle \frac{2}{3}}AB$.
Ta có $\overrightarrow{AH}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AB}\iff (x_H-2;y_H-1;c-2)={\displaystyle \frac{2}{3}}(4;4;2)\Rightarrow [\begin{array}{c}{x}_H={\displaystyle \frac{14}{3}}\\ y_H={\displaystyle \frac{11}{3}}\\ z_H={\displaystyle \frac{13}{3}}\end{array}$.
$\left(P\right)$ qua $H$, có ${\overrightarrow{n}}_P={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}=(2;2;1)\Rightarrow \left(P\right):2x+2y+z-21=0\Rightarrow S=2+1-21=-18$.