Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3)$, $B(6;5;5)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đường kính $AB$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đoạn $AB$ tại $H$ sao cho khối nón đỉnh $A$ và đáy là đường tròn tâm $H$ (giao của $(S)$ và $(P)$ ) có thể tích lớn nhất. Biết $(P):2x+by+cz+d=0$, tính $S=b+c+d$.
A. $S=-18$.
B. $S=-11$.
C. $S=-24$.
D. $S=-14$.
Ta có $AB=6$, Gọi $(C)$ là đường tròn giao của $(S)$ và $(P)$ có tâm $H$, bán kính $r$.
Đặt $AH=x$ $(0<x<6)$, ta có ${{V}_{(N)}}=\dfrac{1}{3}AH\cdot {{S}_{(C)}}=\dfrac{1}{3}AH\cdot \pi {{r}^{2}}.$
Do $AB$ là đường kính nên ta có ${{r}^{2}}=AH\cdot HB=x(6-x)$.
Khi đó ${{V}_{(N)}}=\dfrac{\pi }{3}{{x}^{2}}(6-x)=\dfrac{\pi }{3}(-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}})=\dfrac{\pi }{3}f(x)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}$ trên $\left( 0;6 \right)$, ${f}'(x)=-3{{x}^{2}}+12x, {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=4 \\
\end{matrix} \right.$.
Bảng biến thiên $f\left( x \right)$ :
Dựa vào bảng biến thiên, ta có ${{V}_{(N)}}$ lớn nhất khi $x=4$ hay $AH=\dfrac{2}{3}AB$.
Ta có $\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow ({{x}_{H}}-2;{{y}_{H}}-1;c-2)=\dfrac{2}{3}(4;4;2)\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}_{H}}=\dfrac{14}{3} \\
{{y}_{H}}=\dfrac{11}{3} \\
{{z}_{H}}=\dfrac{13}{3} \\
\end{matrix} \right.$.
$\left( P \right)$ qua $H$, có ${{\overrightarrow{n}}_{P}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;1 \right)\Rightarrow \left( P \right):2x+2y+z-21=0\Rightarrow S=2+1-21=-18$.
A. $S=-18$.
B. $S=-11$.
C. $S=-24$.
D. $S=-14$.
Ta có $AB=6$, Gọi $(C)$ là đường tròn giao của $(S)$ và $(P)$ có tâm $H$, bán kính $r$.
Đặt $AH=x$ $(0<x<6)$, ta có ${{V}_{(N)}}=\dfrac{1}{3}AH\cdot {{S}_{(C)}}=\dfrac{1}{3}AH\cdot \pi {{r}^{2}}.$
Do $AB$ là đường kính nên ta có ${{r}^{2}}=AH\cdot HB=x(6-x)$.
Khi đó ${{V}_{(N)}}=\dfrac{\pi }{3}{{x}^{2}}(6-x)=\dfrac{\pi }{3}(-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}})=\dfrac{\pi }{3}f(x)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}$ trên $\left( 0;6 \right)$, ${f}'(x)=-3{{x}^{2}}+12x, {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=4 \\
\end{matrix} \right.$.
Bảng biến thiên $f\left( x \right)$ :
Dựa vào bảng biến thiên, ta có ${{V}_{(N)}}$ lớn nhất khi $x=4$ hay $AH=\dfrac{2}{3}AB$.
Ta có $\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow ({{x}_{H}}-2;{{y}_{H}}-1;c-2)=\dfrac{2}{3}(4;4;2)\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}_{H}}=\dfrac{14}{3} \\
{{y}_{H}}=\dfrac{11}{3} \\
{{z}_{H}}=\dfrac{13}{3} \\
\end{matrix} \right.$.
$\left( P \right)$ qua $H$, có ${{\overrightarrow{n}}_{P}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;1 \right)\Rightarrow \left( P \right):2x+2y+z-21=0\Rightarrow S=2+1-21=-18$.
Đáp án A.