Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(-1;5;3)$ và M sao cho $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB và $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ là các vectơ đơn vị.
A. $B\left( \dfrac{1}{2};3;\dfrac{1}{2} \right)$
B. $B(-4;9;8)$
C. $B(5;3;-7)$
D. $B(5;-3;-7)$
A. $B\left( \dfrac{1}{2};3;\dfrac{1}{2} \right)$
B. $B(-4;9;8)$
C. $B(5;3;-7)$
D. $B(5;-3;-7)$
Ta có $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=(2;1;-2)\Rightarrow M(2;1;-2)$.
Giả sử $B({{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}})$. Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2} \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \\
& {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2=\dfrac{-1+{{x}_{B}}}{2} \\
& 1=\dfrac{5+{{y}_{B}}}{2} \\
& -2=\dfrac{3+{{z}_{B}}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=5 \\
& {{y}_{B}}=-3 \\
& {{z}_{B}}=-7 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ B(5;-3;-7)$ là tọa độ cần tìm.
Giả sử $B({{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}})$. Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2} \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \\
& {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2=\dfrac{-1+{{x}_{B}}}{2} \\
& 1=\dfrac{5+{{y}_{B}}}{2} \\
& -2=\dfrac{3+{{z}_{B}}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=5 \\
& {{y}_{B}}=-3 \\
& {{z}_{B}}=-7 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ B(5;-3;-7)$ là tọa độ cần tìm.
Đáp án D.