Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng...

Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}=\left( 2;-1;-1 \right)$
Ta có $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{OA}$
Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng $d\Rightarrow H\left( 2t;1-t;-1-t \right)$
Do $OH\bot d$ nên $4t-1+t+1+t=0$ $\Rightarrow t=0\Rightarrow H\left( 0;1;-1 \right)$
Ta có $\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OA}=0\Rightarrow OH\bot OA$ và $OA\bot BC$ nên $OA\bot \left( OBC \right)$
$\left. \begin{aligned}
& \Rightarrow OA\bot OB \\
& \left( OAB \right)\bot \left( OAC \right) \\
& OA=\left( OAB \right)\cap \left( OAC \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow OB\bot \left( OAC \right)$
Do đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OB\bot AC \\
& B{B}'\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( OB{B}' \right)\Rightarrow A{B}'\bot O{B}'$
Vậy ${B}'$ thuộc mặt cầu (S) đường kính $OA=\sqrt{3}$.
Gọi $I\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$ là trung điểm của OA.
Phương trình mặt cầu là $(S):{{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{3}{4}$
Mặt khác ${B}'\in \left( ABC \right)\equiv \left( A;d \right)$
Mặt phẳng (ABC) có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AH};\overrightarrow{u} \right]=\left( 2;5;-1 \right)$
Phương trình mặt phẳng (ABC): $2x+5y-z-6=0$
Vậy ${B}'$ thuộc đường tròn cố định là đường tròn (C), giao tuyến của mặt cầu (S) và (ABC).
(C) có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$, với $R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ và $d=d\left( I,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$