Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-1}{2}$, $A\left( 2;1;4 \right)$. Gọi $H\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc $d$ sao cho $AH$ có độ dài nhỏ nhất. Tính $T={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$.
A. $T=8$.
B. $T=62$.
C. $T=13$.
D. $T=\sqrt{5}$.
A. $T=8$.
B. $T=62$.
C. $T=13$.
D. $T=\sqrt{5}$.
$H$ chính là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $d$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;2 \right)$.
$H\in d\Rightarrow H\left( 1+t;2+t;1+2t \right);\overrightarrow{AH}=\left( t-1;t+1;2t-3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{u}\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 1.\left( t-1 \right)+1\left( t+1 \right)+2\left( 2t-3 \right)=0\Leftrightarrow t=1$
Khi $t=1\Rightarrow H\left( 2;3;3 \right)$.
Vậy $a=2,b=3,c=3\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=62$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;2 \right)$.
$H\in d\Rightarrow H\left( 1+t;2+t;1+2t \right);\overrightarrow{AH}=\left( t-1;t+1;2t-3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{u}\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 1.\left( t-1 \right)+1\left( t+1 \right)+2\left( 2t-3 \right)=0\Leftrightarrow t=1$
Khi $t=1\Rightarrow H\left( 2;3;3 \right)$.
Vậy $a=2,b=3,c=3\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=62$.
Đáp án B.