Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng...

Cách 1:
Gọi đường thẳng d đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( 1;-5;3 \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;-1;4 \right)$
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với $\left( P \right):x+3=0$
Suy ra mặt phẳng (Q) đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( 1;-5;3 \right)$ và có một vecto pháp tuyến là $\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{p}}} \right]=\left( 0;4;1 \right)\Rightarrow \left( Q \right):4y+z+17=0$
Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), tức là $\left\{ \begin{aligned}
& 4y+z+17=0 \\
& x+3=0 \\
\end{aligned} \right. $ hay $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& y=-6-t \\
& z=7+4t \\
\end{aligned} \right.$
Cách 2: Ta có $M\in d\Rightarrow M\left( 1+2t;-5-t;3+4t \right)$. Gọi $M'$ là hình chiếu của M trên $\left( P \right):x+3=0$. Suy ra $M'\left( -3;-5-t;3+4t \right)$. Suy ra $d':\left\{ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& y=-5-t \\
& z=3+4t \\
\end{aligned} \right.$
So sánh với các phương án, ta chọn D là đáp án đúng.
CÁch 3: Trắc nghiệm
Gọi $I=d\cap \left( \alpha \right)$, suy ra $I\left( -3;-3;-5 \right)$. Dễ thấy chỉ có đáp án D thỏa mãn.