Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt cầu (S):
${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-7 \right)}^{2}}=2$. Hai điểm A và B thay đổi trên (S) sao cho thiết diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau. Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại M, đường thẳng qua B song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại N. Tìm giá trị lớn nhất của tổng AM + BN.
A. $16\sqrt{6}$
B. $8\sqrt{6}$
C. $7\sqrt{6}+5\sqrt{3}$
D. $2\sqrt{5}$
${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-7 \right)}^{2}}=2$. Hai điểm A và B thay đổi trên (S) sao cho thiết diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau. Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại M, đường thẳng qua B song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại N. Tìm giá trị lớn nhất của tổng AM + BN.
A. $16\sqrt{6}$
B. $8\sqrt{6}$
C. $7\sqrt{6}+5\sqrt{3}$
D. $2\sqrt{5}$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 4;5;7 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$.
Xét hai điểm $A,B\in \left( S \right)$ sao cho thiết diện của (S) tại A, B vuông góc với nhau $\Rightarrow \Delta IAB$ vuông cân tại I.
Gọi J là trung điểm AB thì $IJ=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}=1$ nên khi A, B thay đổi trên (S) thì điểm J luôn thuộc mặt cầu $({S}')$ cố định có tâm I, bán kính $r=IJ=1$.
Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại M, đường thẳng qua B song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại N. Khi đó AMNB là hình thang có hai đáy là AM và BN.
Gọi ${J}'$ là trung điểm của MN thì $J{J}'$ là đường trung bình của hình thang AMNB.
Khi đó $J{J}'=\dfrac{AM+NB}{2}$ hay $AM+NB=2J{J}'=2.\dfrac{d\left( J,\left( Oxy \right) \right)}{\sin \left( J{J}',\left( Oxy \right) \right)}$
Trong đó $\sin \left( J{J}',\left( Oxy \right) \right)=\sin \left( d,\left( Oxy \right) \right)=\dfrac{\left| 2.0+1.0+1.1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ nên
$AM+NB=2\sqrt{6}.d\left( J,\left( Oxy \right) \right)$
Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z = 0. Ta có $d\left( I;\left( Oxy \right) \right)=7>1=r$ nên mặt phẳng (Oxy) không cắt mặt cầu $({S}')$.
Lại có $d\left( J,\left( Oxy \right) \right)\le d\left( I,\left( Oxy \right) \right)+r=7+1=8$ nên $AM+NB\le 2\sqrt{6}.8=16\sqrt{6}$
Xét hai điểm $A,B\in \left( S \right)$ sao cho thiết diện của (S) tại A, B vuông góc với nhau $\Rightarrow \Delta IAB$ vuông cân tại I.
Gọi J là trung điểm AB thì $IJ=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}=1$ nên khi A, B thay đổi trên (S) thì điểm J luôn thuộc mặt cầu $({S}')$ cố định có tâm I, bán kính $r=IJ=1$.
Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại M, đường thẳng qua B song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại N. Khi đó AMNB là hình thang có hai đáy là AM và BN.
Gọi ${J}'$ là trung điểm của MN thì $J{J}'$ là đường trung bình của hình thang AMNB.
Khi đó $J{J}'=\dfrac{AM+NB}{2}$ hay $AM+NB=2J{J}'=2.\dfrac{d\left( J,\left( Oxy \right) \right)}{\sin \left( J{J}',\left( Oxy \right) \right)}$
Trong đó $\sin \left( J{J}',\left( Oxy \right) \right)=\sin \left( d,\left( Oxy \right) \right)=\dfrac{\left| 2.0+1.0+1.1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ nên
$AM+NB=2\sqrt{6}.d\left( J,\left( Oxy \right) \right)$
Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z = 0. Ta có $d\left( I;\left( Oxy \right) \right)=7>1=r$ nên mặt phẳng (Oxy) không cắt mặt cầu $({S}')$.
Lại có $d\left( J,\left( Oxy \right) \right)\le d\left( I,\left( Oxy \right) \right)+r=7+1=8$ nên $AM+NB\le 2\sqrt{6}.8=16\sqrt{6}$
Đáp án A.