Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z}{1}$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=6$. Hai mặt phẳng $\left( P \right), \left( Q \right)$ chứa $d$ và tiếp xúc với $\left( S \right)$. Gọi $A, B$ là tiếp điểm và $I$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị $\cos \widehat{AIB}$ bằng
A. $-\dfrac{1}{9}$.
B. $\dfrac{1}{9}$.
C. $-\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
Ta có $\left( S \right)$ có tâm mặt cầu $I\left( 2;-1;-1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$.
Gọi $K=d\cap \left( IAB \right)$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot IA \\
& d\bot IB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\bot \left( IAB \right) $ nên $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ trên $ d$.
Ta có $K\left( 2a-2;-3a-1;a \right)\in d\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( 2a-4;-3a;a+1 \right)$.
Do $\overrightarrow{IK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow 14a=7\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow K\left( -1;-\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2} \right)$ khi đó $IK=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$.
Ta có $\cos \widehat{AIK}=\dfrac{IA}{IK}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \cos \widehat{AIB}=2{{\cos }^{2}}\widehat{AIK}-1=\dfrac{8}{9}-1=-\dfrac{1}{9}$.
A. $-\dfrac{1}{9}$.
B. $\dfrac{1}{9}$.
C. $-\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
Gọi $K=d\cap \left( IAB \right)$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot IA \\
& d\bot IB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\bot \left( IAB \right) $ nên $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ trên $ d$.
Ta có $K\left( 2a-2;-3a-1;a \right)\in d\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( 2a-4;-3a;a+1 \right)$.
Do $\overrightarrow{IK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow 14a=7\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow K\left( -1;-\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2} \right)$ khi đó $IK=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$.
Ta có $\cos \widehat{AIK}=\dfrac{IA}{IK}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \cos \widehat{AIB}=2{{\cos }^{2}}\widehat{AIK}-1=\dfrac{8}{9}-1=-\dfrac{1}{9}$.
Đáp án A.