Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng ${{d}_{m}}:\dfrac{x-4m+3}{2m-1}=\dfrac{y-2m-3}{m+1}=\dfrac{z-8m-7}{4m+3}$ với $m\notin \left\{ -1;-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} \right\}$. Biết khi $m$ thay đổi thì ${{d}_{m}}$ luôn nằm trong một mặt phẳng $\left( P \right)$ cố định. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
A. $x+5y+2z-6=0$
B. $x+10y-3z-6=0$
C. $x-10y+3z-6=0$
D. $x+10y-3z+6=0$
A. $x+5y+2z-6=0$
B. $x+10y-3z-6=0$
C. $x-10y+3z-6=0$
D. $x+10y-3z+6=0$
Phương trình tham số của ${{d}_{m}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=4m-3+\left( 2m-1 \right)t \\
& y=2m-3+\left( m+1 \right)t \\
& z=8m+7+\left( 4m+3 \right)t \\
\end{aligned} \right.$
Cho $t=-2$ ta được $x=-1,\ y=z=1$. Suy ra ${{d}_{m}}$ luôn qua điểm $M\left( -1;1;1 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.
Do ${{d}_{m}}\subset \left( P \right)\Rightarrow $ phương trình $a\left( 2m-1 \right)+b\left( m+1 \right)+c\left( 4m+3 \right)=0$ nghiệm đúng với mọi $m\notin \left\{ -1;-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} \right\}$.
$\Leftrightarrow m\left( 2a+b+4c \right)-a+b+3c=0$ nghiệm đúng với mọi $m\notin \left\{ -1;-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} \right\}$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a+b+4c=0 \\
& -a+b+3c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-3a \\
& b=10a \\
\end{aligned} \right.$.
Ta chọn $a=1$ suy ra $b=10;\ c=-3$.
Phương trình qua $\left( P \right)$ có dạng $x+10y-3z-6=0$.
& x=4m-3+\left( 2m-1 \right)t \\
& y=2m-3+\left( m+1 \right)t \\
& z=8m+7+\left( 4m+3 \right)t \\
\end{aligned} \right.$
Cho $t=-2$ ta được $x=-1,\ y=z=1$. Suy ra ${{d}_{m}}$ luôn qua điểm $M\left( -1;1;1 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.
Do ${{d}_{m}}\subset \left( P \right)\Rightarrow $ phương trình $a\left( 2m-1 \right)+b\left( m+1 \right)+c\left( 4m+3 \right)=0$ nghiệm đúng với mọi $m\notin \left\{ -1;-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} \right\}$.
$\Leftrightarrow m\left( 2a+b+4c \right)-a+b+3c=0$ nghiệm đúng với mọi $m\notin \left\{ -1;-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} \right\}$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a+b+4c=0 \\
& -a+b+3c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-3a \\
& b=10a \\
\end{aligned} \right.$.
Ta chọn $a=1$ suy ra $b=10;\ c=-3$.
Phương trình qua $\left( P \right)$ có dạng $x+10y-3z-6=0$.
Đáp án B.