Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng...

Phương trình tham số của $d_m:\{\begin{array}{rl}& x=4m-3+(2m-1)t\\ & y=2m-3+(m+1)t\\ & z=8m+7+(4m+3)t\end{array}$
Cho $t=-2$ ta được $x=-1,y=z=1$. Suy ra $d_m$ luôn qua điểm $M(-1;1;1)$.
Gọi $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$.
Do $d_m\subset \left(P\right)\Rightarrow$ phương trình $a(2m-1)+b(m+1)+c(4m+3)=0$ nghiệm đúng với mọi $m\notin \{-1;-{\displaystyle \frac{3}{4}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\}$.
$\iff m(2a+b+4c)-a+b+3c=0$ nghiệm đúng với mọi $m\notin \{-1;-{\displaystyle \frac{3}{4}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\}$.
$\iff \{\begin{array}{rl}& 2a+b+4c=0\\ & -a+b+3c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& c=-3a\\ & b=10a\end{array}$.
Ta chọn $a=1$ suy ra $b=10;c=-3$.
Phương trình qua $\left(P\right)$ có dạng $x+10y-3z-6=0$.