Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=2+7t' \\
& z=3+t' \\
\end{aligned} \right. $. Phương trình đường phân giác của góc tù giữa $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}}$ là:
A. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-2}{-12}=\dfrac{z-3}{1}.$
B. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}.$
C. $\dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}.$
D. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-2}{12}=\dfrac{z-3}{1}.$
& x=1+t \\
& y=2+t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=2+7t' \\
& z=3+t' \\
\end{aligned} \right. $. Phương trình đường phân giác của góc tù giữa $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}}$ là:
A. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-2}{-12}=\dfrac{z-3}{1}.$
B. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}.$
C. $\dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}.$
D. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-2}{12}=\dfrac{z-3}{1}.$
Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có: ${{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$ tại điểm $I\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow d$ đi qua I.
Lại có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1;0 \right),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 0;7;1 \right)$, vì $\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=7>0\Rightarrow $ góc giữa $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là góc nhọn.
Suy ra VTCP của góc tù tạo bởi ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:
$\overrightarrow{u}=\dfrac{\overrightarrow{{{u}_{1}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}-\dfrac{\overrightarrow{{{u}_{2}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}=\dfrac{\left( 1;1;0 \right)}{\sqrt{2}}-\dfrac{\left( 0;7;1 \right)}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{5\sqrt{2}}\left( 5;-2;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 5;-2;-1 \right)$.
Lại có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1;0 \right),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 0;7;1 \right)$, vì $\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=7>0\Rightarrow $ góc giữa $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là góc nhọn.
Suy ra VTCP của góc tù tạo bởi ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:
$\overrightarrow{u}=\dfrac{\overrightarrow{{{u}_{1}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}-\dfrac{\overrightarrow{{{u}_{2}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}=\dfrac{\left( 1;1;0 \right)}{\sqrt{2}}-\dfrac{\left( 0;7;1 \right)}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{5\sqrt{2}}\left( 5;-2;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 5;-2;-1 \right)$.
Đáp án C.