Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng...

* Cách 1: Gọi $B=d\cap \Delta \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& B\in d \\
& B\in \Delta \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& B\left( 3+t;3+3t;2t \right) \\
& \overrightarrow{AB}=\left( 2+t;1+3t;2t+1 \right) \\
\end{aligned} \right. $ là véc-tơ chỉ phương của $ \Delta .$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;-1 \right).$
Vì $\Delta //\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow 2+t+1+3t-2t-1=0\Leftrightarrow 2t=-2\Leftrightarrow t=-1.$
Vậy đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 1;2;-1 \right)$ và nhận véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-2;-1 \right)$ có phương trình là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}.$
* Cách 2: Gọi $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng qua $A\left( 1;2;-1 \right)$ và song song với $\left( \alpha \right)$ nên có phương trình $x+y-z-4=0.$
Gọi $\beta =d\cap \left( \beta \right).$ Khi đó, tọa độ $x,y,z$ của $B$ là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z}{2} \\
& x+y-z-4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3x-y=6 \\
& 2x-z=6 \\
& x+y-z-4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=0 \\
& z=-2 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $B\left( 2;0;-2 \right)$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}.$