Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng...

* Cách 1: Gọi $B=d\cap \mathrm{\Delta }\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& B\in d\\ & B\in \mathrm{\Delta }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& B(3+t;3+3t;2t)\\ & \overrightarrow{AB}=(2+t;1+3t;2t+1)\end{array}$ là véc-tơ chỉ phương của $\mathrm{\Delta }.$
Mặt phẳng $\left(P\right)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(1;1;-1).$
Vì $\mathrm{\Delta }//\left(P\right)$ nên $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}.\overrightarrow{AB}=0\iff 2+t+1+3t-2t-1=0\iff 2t=-2\iff t=-1.$
Vậy đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $A(1;2;-1)$ và nhận véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(1;-2;-1)$ có phương trình là ${\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y-2}{-2}}={\displaystyle \frac{z+1}{-1}}.$
* Cách 2: Gọi $\left(\beta \right)$ là mặt phẳng qua $A(1;2;-1)$ và song song với $\left(\alpha \right)$ nên có phương trình $x+y-z-4=0.$
Gọi $\beta =d\cap \left(\beta \right).$ Khi đó, tọa độ $x,y,z$ của $B$ là nghiệm của hệ phương trình
$\{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{x-3}{1}}={\displaystyle \frac{y-3}{3}}={\displaystyle \frac{z}{2}}\\ & x+y-z-4=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 3x-y=6\\ & 2x-z=6\\ & x+y-z-4=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=0\\ & z=-2\end{array}.$
Suy ra $B(2;0;-2)$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:{\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y-2}{-2}}={\displaystyle \frac{z+1}{-1}}.$