Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+4y-2z+6=0.$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 1;-1;3 \right),$ cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $\left( P \right).$
A. $\Delta :\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{4}.$
B. $\Delta :\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{3}.$
C. $\Delta :\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}.$
D. $\Delta :\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{3}.$
A. $\Delta :\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{4}.$
B. $\Delta :\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{3}.$
C. $\Delta :\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}.$
D. $\Delta :\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{3}.$
Gọi $M=d\cap \Delta $, ta có $d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=2+t \\
y=-1-t \\
z=1+t \\
\end{array} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow M\left( t+2;-t-1;t+1 \right).$
Đường thẳng Δ nhận $\overrightarrow{AM}=\left( t+1;-t;t-2 \right)$ là một VTCP.
Mặt phẳng (P) có một VTPT là $\vec{n}=\left( 1;4;-2 \right).$
Ta có $\Delta //\left( P \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A\notin \left( P \right) \\
\overrightarrow{AM}.\vec{n}=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
1+4.\left( -1 \right)-2.3+6\ne 0 \\
\left( t+1 \right)-4t-2\left( t-2 \right)=0 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow -5t+5=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 2;-1;-1 \right).$
Đường thẳng Δ qua $A\left( 1;-1;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=\left( 2;-1;-1 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}.$
x=2+t \\
y=-1-t \\
z=1+t \\
\end{array} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow M\left( t+2;-t-1;t+1 \right).$
Đường thẳng Δ nhận $\overrightarrow{AM}=\left( t+1;-t;t-2 \right)$ là một VTCP.
Mặt phẳng (P) có một VTPT là $\vec{n}=\left( 1;4;-2 \right).$
Ta có $\Delta //\left( P \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A\notin \left( P \right) \\
\overrightarrow{AM}.\vec{n}=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
1+4.\left( -1 \right)-2.3+6\ne 0 \\
\left( t+1 \right)-4t-2\left( t-2 \right)=0 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow -5t+5=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 2;-1;-1 \right).$
Đường thẳng Δ qua $A\left( 1;-1;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=\left( 2;-1;-1 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}.$
Đáp án C.