Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta...

Giả sử $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( -2;-3;-2 \right).$
Do mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa hai điểm $M\left( 1;1;1 \right), N\left( -1;-2;-1 \right)$ nên $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{MN}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{MN}=0\Leftrightarrow -2a-3b-2c=0\Leftrightarrow c=-\dfrac{2a+3b}{2}.$
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right).$
Gọi là góc giữa $\left( \alpha \right)$ và . Khi đó $\sin \varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{\left| 2a+b-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{6}}$
$=\dfrac{\left| 2a+b+\dfrac{2a+3b}{2} \right|}{\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+\dfrac{{{\left( 2a+3b \right)}^{2}}}{4}}}=\dfrac{\left| 6a+5b \right|}{\sqrt{6}\sqrt{8{{a}^{2}}+13{{b}^{2}}+12ab}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}.\sqrt{\dfrac{36{{a}^{2}}+60ab+25{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}+12ab+13{{b}^{2}}}}.$
lớn nhất $\sin \varphi $ đạt giá trị lớn nhất.
+ Nếu $b=0\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{6}}.\sqrt{\dfrac{36{{a}^{2}}}{8{{a}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
+ Nếu $b\ne 0$, đặt $t=\dfrac{a}{b}$ thì $\dfrac{36{{a}^{2}}+60ab+25{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}+12ab+13{{b}^{2}}}=\dfrac{36{{t}^{2}}+60t+25}{8{{t}^{2}}+12t+13}=f\left( t \right).$
Khi đó $\text{max} f\left( t \right)=\dfrac{77}{17}\Leftrightarrow t=12.$ Khi đó $\dfrac{a}{b}=12.$ Chọn $a=24, b=2\Rightarrow c=-27.$
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( 1;1;1 \right)$, nhận $\overrightarrow{n}=\left( 24;2;-27 \right)$ làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình là $24\left( x-1 \right)+2\left( y-1 \right)-27\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 24x+2y-27z+1=0.$