Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta...

Ta có $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3a+at=1+\left( 3+t \right)a \\
& y=-2+t \\
& z=2+3a+\left( 1+a \right)t=2+t+\left( 3+t \right)a \\
\end{aligned} \right.$
Với $t=-3$ thì tham số a triệt tiêu nên ứng với điểm $N\left( 1;-5;-1 \right)$ là điểm cố định của $\Delta .$
Nên tồn tại mặt cầu cố định $\left( S \right)$ đi qua M và tiếp xúc với $\Delta $ tại N.
Phương trình mặt phẳng trung thực của MN là: $3y+z+6=0\left( P \right).$
Gọi $I\left( m;n;k \right)$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ suy ra $I\in \left( P \right)\Rightarrow 3n+k+6=0 \left( 1 \right)$
$\overrightarrow{IN}=\left( 1-m;-5-n;-1-k \right),\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( a;1;1+a \right)$
$\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{u{_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow a\left( 1-m \right)+\left( -5-n \right)+\left( 1+a \right)\left( -1-k \right)=0 \forall a$
$\Leftrightarrow a\left( -m-k \right)-6-n-k=0 \forall a$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m-k=0 \\
& -6-n-k=0 \\
\end{aligned} \right.\left( 2 \right)$
Từ (1), (2) ta có $m=6,n=0,k=-6\Rightarrow \overrightarrow{IN}=\left( -5;-5;5 \right)\Rightarrow R=IN=5\sqrt{3}.$