Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta...

$\left(\alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-2;2).$
$\mathrm{\Delta }:{\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{2}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $2x-y-1=0;y-z-1=0.$
(P) là mặt phẳng chứa $\mathrm{\Delta }$ nên phương trình (P) có dạng
$m(2x-y-1)+n(y-z-1)=0;(m^2+n^2>0).$
$\Rightarrow 2mx+(n-m)y-nz-m-n=0$
$\cos (\left(P\right),\left(\alpha \right))={\displaystyle \frac{|4m-4n|}{3\sqrt{5m^2-2mn+2n^2}}}.$
+ Với n = 0: $\cos (\left(P\right),\left(\alpha \right))={\displaystyle \frac{\left|4m\right|}{3\sqrt{5m^2}}}={\displaystyle \frac{4}{3\sqrt{5}}}$
+ Với $n\ne 0:\cos (\left(P\right),\left(\alpha \right))={\displaystyle \frac{4|{\displaystyle \frac{m}{n}}-1|}{\sqrt[3]{5{\left({\displaystyle \frac{m}{n}}\right)}^2-2{\displaystyle \frac{m}{n}}+2}}}.$
Đặt $t={\displaystyle \frac{m}{n}},\cos (\left(P\right),\left(\alpha \right))={\displaystyle \frac{4|t-1|}{3\sqrt{5t^2-2t+2}}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{t^2-2t+1}{5t^2-2t+2}}}$
Xét $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{t^2-2t+1}{5t^2-2t+2}}$
$f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{8t^2-6t-2}{{(5t^2-2t+2)}^2}};f^{\prime }\left(t\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& t=1\\ & t=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$

(P) là mặt phẳng tạo với $\left(\alpha \right)$ một góc nhỏ nhất nên $\cos (\left(P\right),\left(\alpha \right))={\displaystyle \frac{4}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{9}}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{5}}{9}}$
Khi đó $t=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{m}{n}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}.$
Chọn $m=1;n=-4$ ta được phương trình mặt phẳng $\left(P\right):2x-5y+4z+3=0.$
Khi đó $a=2;b=-5;c=4;d=3\Rightarrow abcd=-120.$