Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{2}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-2y+2z-5=0.$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa $\Delta $ và tạo với $\left( \alpha \right)$ một góc nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng $ax+by+cx+d=0\left( a,b,c,d\in \mathbb{Z};a,b,c,d<5 \right).$ Khi đó tích abcd bằng
A. $-60.$
B. $-120.$
C. $120.$
D. $60.$
$\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2;2 \right).$
$\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{2}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $2x-y-1=0;y-z-1=0.$
(P) là mặt phẳng chứa $\Delta $ nên phương trình (P) có dạng
$m\left( 2x-y-1 \right)+n\left( y-z-1 \right)=0;\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}}>0 \right).$
$\Rightarrow 2mx+\left( n-m \right)y-nz-m-n=0$
$\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 4m-4n \right|}{3\sqrt{5{{m}^{2}}-2mn+2{{n}^{2}}}}.$
+ Với n = 0: $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 4m \right|}{3\sqrt{5{{m}^{2}}}}=\dfrac{4}{3\sqrt{5}}$
+ Với $n\ne 0:\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{4\left| \dfrac{m}{n}-1 \right|}{\sqrt[3]{5{{\left( \dfrac{m}{n} \right)}^{2}}-2\dfrac{m}{n}+2}}.$
Đặt $t=\dfrac{m}{n},\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{4\left| t-1 \right|}{3\sqrt{5{{t}^{2}}-2t+2}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{5{{t}^{2}}-2t+2}}$
Xét $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{5{{t}^{2}}-2t+2}$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{8{{t}^{2}}-6t-2}{{{\left( 5{{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$
(P) là mặt phẳng tạo với $\left( \alpha \right)$ một góc nhỏ nhất nên $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{9}$
Khi đó $t=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{m}{n}=-\dfrac{1}{4}.$
Chọn $m=1;n=-4$ ta được phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x-5y+4z+3=0.$
Khi đó $a=2;b=-5;c=4;d=3\Rightarrow abcd=-120.$
A. $-60.$
B. $-120.$
C. $120.$
D. $60.$
$\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2;2 \right).$
$\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{2}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $2x-y-1=0;y-z-1=0.$
(P) là mặt phẳng chứa $\Delta $ nên phương trình (P) có dạng
$m\left( 2x-y-1 \right)+n\left( y-z-1 \right)=0;\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}}>0 \right).$
$\Rightarrow 2mx+\left( n-m \right)y-nz-m-n=0$
$\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 4m-4n \right|}{3\sqrt{5{{m}^{2}}-2mn+2{{n}^{2}}}}.$
+ Với n = 0: $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 4m \right|}{3\sqrt{5{{m}^{2}}}}=\dfrac{4}{3\sqrt{5}}$
+ Với $n\ne 0:\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{4\left| \dfrac{m}{n}-1 \right|}{\sqrt[3]{5{{\left( \dfrac{m}{n} \right)}^{2}}-2\dfrac{m}{n}+2}}.$
Đặt $t=\dfrac{m}{n},\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{4\left| t-1 \right|}{3\sqrt{5{{t}^{2}}-2t+2}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{5{{t}^{2}}-2t+2}}$
Xét $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{5{{t}^{2}}-2t+2}$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{8{{t}^{2}}-6t-2}{{{\left( 5{{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$
(P) là mặt phẳng tạo với $\left( \alpha \right)$ một góc nhỏ nhất nên $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{9}$
Khi đó $t=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{m}{n}=-\dfrac{1}{4}.$
Chọn $m=1;n=-4$ ta được phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x-5y+4z+3=0.$
Khi đó $a=2;b=-5;c=4;d=3\Rightarrow abcd=-120.$
Đáp án B.