Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{-1}$ và hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 3;-1;-5 \right).$ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng $\Delta $ sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Khi đó, gọi $M\left( a;b;c \right)$ là giao điểm của d với đường thẳng $\Delta .$ Giá trị $P=a+b+c$ bằng
A. $-2.$
B. 4.
C. 2.
D. 6.
A. $-2.$
B. 4.
C. 2.
D. 6.
Gọi $M=d\cap \Delta $ thì $M\left( -1+2t;3t;-1-t \right)$
Khi đó $\overrightarrow{AM}=\left( -2+2t;3t-2;-t \right),\overrightarrow{BA}=\left( -2;3;4 \right),\overrightarrow{BM}=\left( -4+2t;3t+1;4-t \right)$
$\left[ \overrightarrow{BM};\overrightarrow{BA} \right]=\left( 15t-8;-6t+8;12t-10 \right)$
$\Rightarrow d\left( B,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BM},\overrightarrow{BA} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( 15t-8 \right)}^{2}}+{{\left( -6t+8 \right)}^{2}}+{{\left( 12t-10 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-2 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}}}$
$=\sqrt{\dfrac{{{\left( 15t-8 \right)}^{2}}+{{\left( -6t+8 \right)}^{2}}+{{\left( 12t-10 \right)}^{2}}}{{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-2 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{405{{t}^{2}}-576t+228}{14{{t}^{2}}-20t+8}}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{405{{t}^{2}}-576t+228}{14{{t}^{2}}-20t+8}$ tìm GTLN được $\max f\left( t \right)=29$ tại $t=2.$
Do đó $M\left( 3;6;-3 \right)$ hay $a=3;b=6;c=-3\Rightarrow a+b+c=6.$
Khi đó $\overrightarrow{AM}=\left( -2+2t;3t-2;-t \right),\overrightarrow{BA}=\left( -2;3;4 \right),\overrightarrow{BM}=\left( -4+2t;3t+1;4-t \right)$
$\left[ \overrightarrow{BM};\overrightarrow{BA} \right]=\left( 15t-8;-6t+8;12t-10 \right)$
$\Rightarrow d\left( B,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BM},\overrightarrow{BA} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( 15t-8 \right)}^{2}}+{{\left( -6t+8 \right)}^{2}}+{{\left( 12t-10 \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-2 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}}}$
$=\sqrt{\dfrac{{{\left( 15t-8 \right)}^{2}}+{{\left( -6t+8 \right)}^{2}}+{{\left( 12t-10 \right)}^{2}}}{{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-2 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{405{{t}^{2}}-576t+228}{14{{t}^{2}}-20t+8}}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{405{{t}^{2}}-576t+228}{14{{t}^{2}}-20t+8}$ tìm GTLN được $\max f\left( t \right)=29$ tại $t=2.$
Do đó $M\left( 3;6;-3 \right)$ hay $a=3;b=6;c=-3\Rightarrow a+b+c=6.$
Đáp án D.