Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

Δ : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1}

và hai điểm

A (1; 2; - 1), B (3; - 1; - 5) .

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng

Δ

sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là:
A.

\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{- 1} .

B.

\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{4} .

C.

\frac{x + 2}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1} .

D.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5} .

Gọi

I = Δ \cap d .

Khi đó

I (- 1 + 2 t; 3 t; - 1 - t) \in d .

Ta có:

\vec{A B} = (2; - 3; - 4);

\vec{A I} = (2 t - 2; 3 t 5 - 2; - t) \Rightarrow [\vec{A I}, \vec{A B}] = (8 - 15 t; 6 t - 8; 10 - 12 t) .

Suy ra:

d (B; d) = \frac{| [\vec{A I}, \vec{A B}] |}{| \vec{A I} |} = \sqrt{\frac{405 t^{2} - 576 t + 228}{14 t^{2} - 20 t + 8}} .

Xét hàm số

f (t) = \frac{405 t^{2} - 576 t + 228}{14 t^{2} - 20 t + 8} = \frac{3}{2} . \frac{135 t^{2} - 192 t + 76}{7 t^{2} - 10 t + 4}

Ta có:

f^{'} (t) = \frac{3}{2} . \frac{- 6 t^{2} + 16 t y - 8}{{(7 t^{2} - 10 t + 4)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} t = 2 \\ t = \frac{2}{3} \end{aligned} .

Bảng biến thiên hàm f(t) như sau

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

d {(B; d)}_{min} = f (\frac{2}{3}) = 27.

Suy ra

\vec{A I} = (\frac{1}{3}; 2; - \frac{5}{3}) .

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:

\vec{u} = 3 \vec{A I} = (1; 6; - 5) .

Vậy phương trình đường thẳng d:

d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5} .

Đáp án D.