Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{-1}$ và hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 3;-1;-5 \right).$ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng $\Delta $ sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là:
A. $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+5}{-1}.$
B. $\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z}{4}.$
C. $\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}.$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{6}=\dfrac{z+1}{-5}.$
A. $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+5}{-1}.$
B. $\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z}{4}.$
C. $\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}.$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{6}=\dfrac{z+1}{-5}.$
Gọi $I=\Delta \cap d.$
Khi đó $I\left( -1+2t;3t;-1-t \right)\in d.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;-4 \right);$ $\overrightarrow{AI}=\left( 2t-2;3t5-2;-t \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AB} \right]=\left( 8-15t;6t-8;10-12t \right).$
Suy ra: $d\left( B;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AB} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AI} \right|}=\sqrt{\dfrac{405{{t}^{2}}-576t+228}{14{{t}^{2}}-20t+8}}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{405{{t}^{2}}-576t+228}{14{{t}^{2}}-20t+8}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{135{{t}^{2}}-192t+76}{7{{t}^{2}}-10t+4}$
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{3}{2}.\dfrac{-6{{t}^{2}}+16ty-8}{{{\left( 7{{t}^{2}}-10t+4 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên hàm f(t) như sau
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $d{{\left( B;d \right)}_{\min }}=f\left( \dfrac{2}{3} \right)=27.$
Suy ra $\overrightarrow{AI}=\left( \dfrac{1}{3};2;-\dfrac{5}{3} \right).$
Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{AI}=\left( 1;6;-5 \right).$
Vậy phương trình đường thẳng d: $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{6}=\dfrac{z+1}{-5}.$
Khi đó $I\left( -1+2t;3t;-1-t \right)\in d.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;-4 \right);$ $\overrightarrow{AI}=\left( 2t-2;3t5-2;-t \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AB} \right]=\left( 8-15t;6t-8;10-12t \right).$
Suy ra: $d\left( B;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AB} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AI} \right|}=\sqrt{\dfrac{405{{t}^{2}}-576t+228}{14{{t}^{2}}-20t+8}}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{405{{t}^{2}}-576t+228}{14{{t}^{2}}-20t+8}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{135{{t}^{2}}-192t+76}{7{{t}^{2}}-10t+4}$
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{3}{2}.\dfrac{-6{{t}^{2}}+16ty-8}{{{\left( 7{{t}^{2}}-10t+4 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên hàm f(t) như sau
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $d{{\left( B;d \right)}_{\min }}=f\left( \dfrac{2}{3} \right)=27.$
Suy ra $\overrightarrow{AI}=\left( \dfrac{1}{3};2;-\dfrac{5}{3} \right).$
Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{AI}=\left( 1;6;-5 \right).$
Vậy phương trình đường thẳng d: $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{6}=\dfrac{z+1}{-5}.$
Đáp án D.