Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{2},$ điểm $A\left( 3;-1;-1 \right)$ và mặt phẳng...

Cách giải:
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $\Delta $ và song song với $d.$
Khi đó ta có $d\left( \Delta ;d \right)=d\left( d;\left( Q \right) \right)=d\left( O;\left( Q \right) \right)$ do $O\in d.$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( a;b;c \right)$ là 1 VTPT của $\left( Q \right)$.
Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( 3;-1;-1 \right)$ là:
$a\left( x-3 \right)+b\left( y+1 \right)+c\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow ax+by+cz-3a+b+c=0$
Lại có $d//\left( Q \right)$ nên $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\Leftrightarrow 3a+2b+2c=0.$
Ta có: $d\left( O;\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| -3a+b+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=3.$
$\Leftrightarrow {{\left( -3a+b+c \right)}^{2}}=9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-6ab-6ac+2bc=9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow 4\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=-3ab-3ac+bc$
Ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& 4\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=-3ab-3ac+bc \\
& 3a+2b+2c=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=2\left( b+c \right)b+2\left( b+c \right)c+bc \\
& 3a=-2\left( b+c \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}=2{{b}^{2}}+2bc+2bc+2{{c}^{2}}+bc \\
& 3a=-2\left( b+c \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-5bc=0 \\
& 3a=-2\left( b+c \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& b=2c \\
& c=2b \\
\end{aligned} \right. \\
& 3a=-2\left( b+c \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=2c;a=-2c \\
& c=2b;a=-2b \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( -2c;2c;c \right)=\left( -2;2;1 \right) \\
& \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( -2b;b;2b \right)=\left( -2;1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$

Gọi $d'=\left( P \right)\cap \left( Q \right).$ Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right),d',M=\Delta \cap \left( P \right).$
Khi đó ta có $\angle \left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=\angle AKH,\varphi =\angle \left( \Delta ;\left( P \right) \right)=\angle AMH.$
Ta có $\cos \varphi $ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow \sin \varphi $ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có $\sin \varphi =\dfrac{AH}{AM}\le \dfrac{AH}{AK},$ do đó $\sin {{\varphi }_{\max }}=\dfrac{AH}{AK}\Leftrightarrow H\equiv K.$
Khi đó $\cos {{\varphi }_{\min }}=\cos \left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right|}.$
TH1: $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( -2;2;1 \right)\Rightarrow \cos {{\varphi }_{\min }}=\dfrac{\left| -2.1+2.2+1.2 \right|}{\sqrt{9}.\sqrt{9}}=\dfrac{4}{9}.$
TH2: $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( -2;1;2 \right)\Rightarrow \cos {{\varphi }_{\min }}=\dfrac{\left| -2.1+1.2+2.2 \right|}{\sqrt{9}.\sqrt{9}}=\dfrac{4}{9}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\cos \varphi $ bằng $\dfrac{4}{9}.$