Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left(...

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;2 \right)$ và bán kính $R=4$
Ta có $T=2{{x}_{0}}+3{{y}_{0}}+6{{z}_{0}}\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}+3{{y}_{0}}+6{{z}_{0}}-T=0$. Suy ra điểm M thuộc mặt phẳng (P) có phương trình $2x+3y+6z-T=0$
Mặt khác $M\in \left( S \right)$ nên $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ luôn có điểm chung
Như vậy
$d\left( I,\left( P \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| T-20 \right|}{7}\le 4\Leftrightarrow \left| T-20 \right|\le 28\Leftrightarrow -8\le T\le 48$
Suy ra ${{T}_{\max }}=48$, đạt được khi $d\left( I,\left( P \right) \right)=R$ hay $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại M.
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với $\left( P \right)$, khi đó $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-2}{6}$
$M=d\cap \left( P \right)\Rightarrow $ tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-2}{6} \\
& 2x+3y+6z-48=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3x-2y=-1 \\
& 6y-3z=6 \\
& 2x+3y+6z-48=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{15}{7} \\
& y=\dfrac{26}{7} \\
& z=\dfrac{38}{7} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( \dfrac{15}{7};\dfrac{26}{7};\dfrac{38}{7} \right)$
Vậy $P={{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}}=\dfrac{3}{7}$
Cách khác:
Vì $M\in \left( S \right)$ nên ${{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{0}}-2 \right)}^{2}}=16$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 16=\left[ {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{0}}-2 \right)}^{2}} \right] \\
& \Leftrightarrow 16.49=\left[ {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{0}}-2 \right)}^{2}} \right]\left( 4+9+36 \right) \\
& \Leftrightarrow 784\ge {{\left[ 2\left( {{x}_{0}}-1 \right)+3\left( {{y}_{0}}-2 \right)+6\left( {{z}_{0}}-2 \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow 784\ge {{\left( 2{{x}_{0}}+3{{y}_{0}}+6{{z}_{0}}-20 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 784\ge {{\left( T-20 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -28\le T-20\le 28\Leftrightarrow -8\le T\le 48 \\
\end{aligned}$
Suy ra ${{T}_{\max }}=48$, đạt được khi $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}_{0}}-1}{2}=\dfrac{{{y}_{0}}-2}{3}=\dfrac{{{z}_{0}}-2}{6} \\
& 2{{x}_{0}}+3{{y}_{0}}+6{{z}_{0}}=48 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=\dfrac{15}{7} \\
& {{y}_{0}}=\dfrac{26}{7} \\
& {{z}_{0}}=\dfrac{38}{7} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $P={{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}}=\dfrac{3}{7}$