Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left( 3;2;1 \right).$ Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng nào song song với mặt phẳng (P) ?
A. $3x+2y+z+14=0.$
B. $2x+y+3z+9=0.$
C. $2x+2y+z-14=0.$
D. $2x+y+z-9=0.$
Gọi $A\left( a;0;0 \right);B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\left( abc\ne 0 \right)$
Vì (P) qua M nên $\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1\left( 1 \right)$
Ta có $\overrightarrow{MA}=\left( a-3;-2;-1 \right);\overrightarrow{MB}=\left( -3;b-2;-1 \right);$
$\overrightarrow{BC}=\left( 0;-b;c \right);\overrightarrow{AC}=\left( -a;0;c \right).$
Vì M là trục tâm của tam giác ABC nên
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2b=c \\
& 3a=c \\
\end{aligned} \right.\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $a=\dfrac{14}{3};b=\dfrac{14}{2};c=14.$ Khi đó phương trình $\left( P \right):3x+2y+z-14=0$
Vậy mặt phẳng song song với (P) là $3x+2y+z+14=0.$
A. $3x+2y+z+14=0.$
B. $2x+y+3z+9=0.$
C. $2x+2y+z-14=0.$
D. $2x+y+z-9=0.$
Gọi $A\left( a;0;0 \right);B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\left( abc\ne 0 \right)$
Vì (P) qua M nên $\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1\left( 1 \right)$
Ta có $\overrightarrow{MA}=\left( a-3;-2;-1 \right);\overrightarrow{MB}=\left( -3;b-2;-1 \right);$
$\overrightarrow{BC}=\left( 0;-b;c \right);\overrightarrow{AC}=\left( -a;0;c \right).$
Vì M là trục tâm của tam giác ABC nên
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2b=c \\
& 3a=c \\
\end{aligned} \right.\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $a=\dfrac{14}{3};b=\dfrac{14}{2};c=14.$ Khi đó phương trình $\left( P \right):3x+2y+z-14=0$
Vậy mặt phẳng song song với (P) là $3x+2y+z+14=0.$
Đáp án A.