Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( 2;4;-5 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $M$ và cắt các trục tọa độ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ (không trùng gốc tọa độ) sao cho tam giác $ABC$ nhận $M$ làm trực tâm.
A. $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{5}=1$.
B. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-4}{4}=\dfrac{z+5}{-5}$.
C. $x+y+z-1=0$.
D. $2x+4y-5z-45=0$.
Giả sử $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ nên mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( 0;-b;c \right)$, $\overrightarrow{CA}=\left( a;0;-c \right)$ và $\overrightarrow{AM}=\left( 2-a;4;-5 \right)$, $\overrightarrow{BM}=\left( 2;4-b;-5 \right)$.
Vì $M$ là trực tâm $\Delta ABC$ nên ta có hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CA}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4b-5c=0 \\
& 2a+5c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-\dfrac{5}{4}c \\
& a=-\dfrac{5}{2}c \\
\end{aligned} \right.$.
Ta lại có $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}-\dfrac{5}{c}=1\Leftrightarrow -\dfrac{4}{5c}-\dfrac{16}{5c}-\dfrac{5}{c}=1\Rightarrow c=-9$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{45}{2} \\
& b=\dfrac{45}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\left( ABC \right):\dfrac{2x}{45}+\dfrac{4y}{45}-\dfrac{x}{9}=1\Leftrightarrow 2x+4y-5z-45=0$.
A. $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{5}=1$.
B. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-4}{4}=\dfrac{z+5}{-5}$.
C. $x+y+z-1=0$.
D. $2x+4y-5z-45=0$.
Giả sử $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ nên mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( 0;-b;c \right)$, $\overrightarrow{CA}=\left( a;0;-c \right)$ và $\overrightarrow{AM}=\left( 2-a;4;-5 \right)$, $\overrightarrow{BM}=\left( 2;4-b;-5 \right)$.
Vì $M$ là trực tâm $\Delta ABC$ nên ta có hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CA}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4b-5c=0 \\
& 2a+5c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-\dfrac{5}{4}c \\
& a=-\dfrac{5}{2}c \\
\end{aligned} \right.$.
Ta lại có $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}-\dfrac{5}{c}=1\Leftrightarrow -\dfrac{4}{5c}-\dfrac{16}{5c}-\dfrac{5}{c}=1\Rightarrow c=-9$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{45}{2} \\
& b=\dfrac{45}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\left( ABC \right):\dfrac{2x}{45}+\dfrac{4y}{45}-\dfrac{x}{9}=1\Leftrightarrow 2x+4y-5z-45=0$.
Đáp án D.