Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( 1;2;1 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi đi qua $M$ cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ khác gốc tọa độ. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $OABC$.
A. $18$.
B. $9$.
C. $6$.
D. $54$.
Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ (với $a,b,c$ là các số dương) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ và các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$.
$\Rightarrow \left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Do $M\left( 1;2;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm ta có: $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow abc\ge 54$.
${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}abc\ge 9$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $OABC$ là $9$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{c} \\
& \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=c=3 \\
& b=6 \\
\end{aligned} \right.$.
A. $18$.
B. $9$.
C. $6$.
D. $54$.
Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ (với $a,b,c$ là các số dương) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ và các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$.
$\Rightarrow \left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Do $M\left( 1;2;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm ta có: $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow abc\ge 54$.
${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}abc\ge 9$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $OABC$ là $9$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{c} \\
& \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=c=3 \\
& b=6 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án B.