Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left( 1;2;1...

Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ với $a;b;c>0$ thì $\left( P \right)$ có phương trình $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Vì $M\left( 1;2;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Thể tích khối tứ diện OABC là $V=\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}abc$
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của $V=\dfrac{1}{6}abc$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số $\dfrac{1}{a};\dfrac{2}{b};\dfrac{1}{c}$ ta có $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 3\sqrt[4]{\dfrac{2}{abc}}$
$\Leftrightarrow 1\ge 3\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\Leftrightarrow 1\ge \dfrac{54}{abc}\Leftrightarrow abc\ge 54$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{c} \\
& \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra giá trị nhỏ nhất của V là $\dfrac{1}{6}.54=9\Leftrightarrow a=3;b=6;c=3$.