Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left( 0;-1;2 \right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{2},$ ${{d}_{2}}:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-4}{-1}=\dfrac{z-2}{4}.$ Phương trình đường thẳng đi qua M, cắt cả ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là
A. $\dfrac{x}{-\dfrac{9}{2}}=\dfrac{y+1}{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{z+3}{8}.$
B. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-2}{4}.$
C. $\dfrac{x}{9}=\dfrac{y+1}{-9}=\dfrac{z-2}{16}.$
D. $\dfrac{x}{-9}=\dfrac{y+1}{9}=\dfrac{z-2}{16}.$
A. $\dfrac{x}{-\dfrac{9}{2}}=\dfrac{y+1}{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{z+3}{8}.$
B. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-2}{4}.$
C. $\dfrac{x}{9}=\dfrac{y+1}{-9}=\dfrac{z-2}{16}.$
D. $\dfrac{x}{-9}=\dfrac{y+1}{9}=\dfrac{z-2}{16}.$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm.
$\Delta \cap {{d}_{1}}=A\left( {{t}_{1}}+1;-{{t}_{1}}-2;2{{t}_{1}}+3 \right);$ $\Delta \cap {{d}_{2}}=B\left( 2{{t}_{2}}-1;-{{t}_{2}}+4;4{{t}_{2}}+2 \right).$
$\overrightarrow{MA}=\left( {{t}_{1}}+1;-{{t}_{1}}-1;2t{{}_{1}}+1 \right);\overrightarrow{MB}=\left( 2{{t}_{2}}-1;-{{t}_{2}}+5;4{{t}_{2}} \right)$
Ta có: $M,A,B$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+1=k\left( 2{{t}_{2}}-1 \right) \\
& -{{t}_{1}}-1=k\left( -{{t}_{2}}+5 \right) \\
& 2{{t}_{1}}+1=4k{{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=\dfrac{7}{2} \\
& k=-\dfrac{1}{2} \\
& k{{t}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=\dfrac{7}{2} \\
& {{t}_{2}}=-4 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\overrightarrow{MB}=\left( -9;9;-16 \right).$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left( 0;-1;2 \right)$, một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 9;-9;16 \right)$ có phương trình là: $\Delta :\dfrac{x}{9}=\dfrac{y+1}{-9}=\dfrac{z-2}{16}.$
$\Delta \cap {{d}_{1}}=A\left( {{t}_{1}}+1;-{{t}_{1}}-2;2{{t}_{1}}+3 \right);$ $\Delta \cap {{d}_{2}}=B\left( 2{{t}_{2}}-1;-{{t}_{2}}+4;4{{t}_{2}}+2 \right).$
$\overrightarrow{MA}=\left( {{t}_{1}}+1;-{{t}_{1}}-1;2t{{}_{1}}+1 \right);\overrightarrow{MB}=\left( 2{{t}_{2}}-1;-{{t}_{2}}+5;4{{t}_{2}} \right)$
Ta có: $M,A,B$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+1=k\left( 2{{t}_{2}}-1 \right) \\
& -{{t}_{1}}-1=k\left( -{{t}_{2}}+5 \right) \\
& 2{{t}_{1}}+1=4k{{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=\dfrac{7}{2} \\
& k=-\dfrac{1}{2} \\
& k{{t}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=\dfrac{7}{2} \\
& {{t}_{2}}=-4 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\overrightarrow{MB}=\left( -9;9;-16 \right).$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left( 0;-1;2 \right)$, một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 9;-9;16 \right)$ có phương trình là: $\Delta :\dfrac{x}{9}=\dfrac{y+1}{-9}=\dfrac{z-2}{16}.$
| Giả sử $\Delta $ cắt lần lượt ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ tại A, B. Khi đó M, A, B phải thẳng hàng. Theo tính chất 3 điểm thẳng hàng ta có điều kiện: $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}$ để tìm ẩn số. |
Đáp án C.