Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; 2; 3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B , C. Thể tích khối chóp O.ABC bằng
A. $\dfrac{1372}{9}.$
B. $\dfrac{686}{9}.$
C. $\dfrac{524}{3}.$
D. $\dfrac{343}{9}.$
A. $\dfrac{1372}{9}.$
B. $\dfrac{686}{9}.$
C. $\dfrac{524}{3}.$
D. $\dfrac{343}{9}.$
Ta có $d=d\left( O;\left( P \right) \right)\le OM$ ( không đổi) $\Rightarrow \max d=OM\Leftrightarrow OM\bot \left( P \right).$
Khi đó (P) qua M(l; 2; 3) và nhận $\overrightarrow{OM}=\left( 1;2;3 \right)$ là một VTPT
$\Rightarrow \left( P \right):1.\left( x-1 \right)+2.\left( y-2 \right)+3.\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-14=0$.
Theo đề bài ta có
$\left( P \right)\cap Ox=A\left( 14;0;0 \right)\Rightarrow OA=14$
$\left( P \right)\cap Oy=B\left( 0;7;0 \right)\Rightarrow OB=7$
$\left( P \right)\cap Oz=C\left( 0;0;\dfrac{14}{3} \right)\Rightarrow OC=\dfrac{14}{3}$
Laị có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một
$\Rightarrow {{V}_{O.ABC}}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{686}{9}.$
Khi đó (P) qua M(l; 2; 3) và nhận $\overrightarrow{OM}=\left( 1;2;3 \right)$ là một VTPT
$\Rightarrow \left( P \right):1.\left( x-1 \right)+2.\left( y-2 \right)+3.\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-14=0$.
Theo đề bài ta có
$\left( P \right)\cap Ox=A\left( 14;0;0 \right)\Rightarrow OA=14$
$\left( P \right)\cap Oy=B\left( 0;7;0 \right)\Rightarrow OB=7$
$\left( P \right)\cap Oz=C\left( 0;0;\dfrac{14}{3} \right)\Rightarrow OC=\dfrac{14}{3}$
Laị có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một
$\Rightarrow {{V}_{O.ABC}}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{686}{9}.$
Đáp án B.