Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $A\left( a;b;c...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho điểm

A (a; b; c)

với

a, b, c

là các số thực dương thỏa mãn

5 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 9 (a b + 2 b c + c a)

và

Q = \frac{a}{b^{2} + c^{2}} - \frac{1}{{(a + b + c)}^{3}}

có giá trị lớn nhất. Gọi

M, N, P

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

A

lên các tia

O x, O y, O z

. Phương trình mặt phẳng

(M N P)

là
A.

3 x + 12 y + 12 z - 1 = 0

.
B.

x + 4 y + 4 z - 12 = 0

.
C.

3 x + 12 y + 12 z + 1 = 0

.
D.

x + 4 y + 4 z = 0

.

Đặt

t = b + c

\Rightarrow {\begin{aligned} t > 0 \\ b^{2} + c^{2} \geq \frac{{(b + c)}^{2}}{2} = \frac{t^{2}}{2} \\ b c \leq \frac{{(b + c)}^{2}}{4} = \frac{t^{2}}{4} \end{aligned}

. Đẳng thức xảy ra

\Leftrightarrow b = c .

Ta có:

5 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 9 (a b + 2 b c + c a) \Leftrightarrow 5 a^{2} + 5 {(b + c)}^{2} - 9 a (b + c) = 28 b c

.

\Rightarrow 5 a^{2} + 5 t^{2} - 9 a t \leq 7 t^{2}

\Leftrightarrow (5 a + t) (a - 2 t) \leq 0 \Leftrightarrow a \leq 2 t

.
Do đó:

Q \leq \frac{4}{t} - \frac{1}{27 t^{3}} = f (t)

với

t > 0

. Đạo hàm

f^{'} (t) = - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{9 t^{4}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{6}

(vì

t > 0

)
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thì

Q_{max} = 16 \Leftrightarrow {\begin{aligned} b + c = \frac{1}{6} \\ b = c \\ 5 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 9 (a b + 2 b c + c a) \end{aligned} \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}; b = c = \frac{1}{12} .

Do đó;

A (\frac{1}{3}; \frac{1}{12}; \frac{1}{12})

\Rightarrow

M (\frac{1}{3}; 0; 0), N (0; \frac{1}{12}; 0), P (0; 0; \frac{1}{12})

.
Phương trình mặt phẳng

(M N P) : \frac{x}{\frac{1}{3}} + \frac{y}{\frac{1}{12}} + \frac{z}{\frac{1}{12}} = 1.

Vậy

(M N P) : 3 x + 12 y + 12 z - 1 = 0.

Đáp án A.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( a;b;c...