Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( a;b;c \right)$ với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=9\left( ab+2bc+ca \right)$ và $Q=\dfrac{a}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}$ có giá trị lớn nhất. Gọi $M,N,P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các tia $Ox,Oy,Oz$. Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ là
A. $3x+12y+12z-1=0$.
B. $x+4y+4z-12=0$.
C. $3x+12y+12z+1=0$.
D. $x+4y+4z=0$.
A. $3x+12y+12z-1=0$.
B. $x+4y+4z-12=0$.
C. $3x+12y+12z+1=0$.
D. $x+4y+4z=0$.
Đặt $t=b+c$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t>0 \\
& {{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( b+c \right)}^{2}}}{2}=\dfrac{{{t}^{2}}}{2} \\
& bc\le \dfrac{{{\left( b+c \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{{{t}^{2}}}{4} \\
\end{aligned} \right. $. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow b=c.$
Ta có: $5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=9\left( ab+2bc+ca \right)\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}+5{{\left( b+c \right)}^{2}}-9a\left( b+c \right)=28bc$.
$\Rightarrow 5{{a}^{2}}+5{{t}^{2}}-9at\le 7{{t}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left( 5a+t \right)\left( a-2t \right)\le 0\Leftrightarrow a\le 2t$.
Do đó: $Q\le \dfrac{4}{t}-\dfrac{1}{27{{t}^{3}}}=f\left( t \right)$ với $t>0$. Đạo hàm ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{4}{{{t}^{2}}}+\dfrac{1}{9{{t}^{4}}}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{6}$ (vì $t>0$ )
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên thì
${{Q}_{\max }}=16\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b+c=\dfrac{1}{6} \\
& b=c \\
& 5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=9\left( ab+2bc+ca \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{3};b=c=\dfrac{1}{12}.$
Do đó; $A\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{12};\dfrac{1}{12} \right)$ $\Rightarrow $ $M\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right),N\left( 0;\dfrac{1}{12};0 \right),P\left( 0;0;\dfrac{1}{12} \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right):\dfrac{x}{\dfrac{1}{3}}+\dfrac{y}{\dfrac{1}{12}}+\dfrac{z}{\dfrac{1}{12}}=1.$
Vậy $\left( MNP \right):3x+12y+12z-1=0.$
& t>0 \\
& {{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( b+c \right)}^{2}}}{2}=\dfrac{{{t}^{2}}}{2} \\
& bc\le \dfrac{{{\left( b+c \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{{{t}^{2}}}{4} \\
\end{aligned} \right. $. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow b=c.$
Ta có: $5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=9\left( ab+2bc+ca \right)\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}+5{{\left( b+c \right)}^{2}}-9a\left( b+c \right)=28bc$.
$\Rightarrow 5{{a}^{2}}+5{{t}^{2}}-9at\le 7{{t}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left( 5a+t \right)\left( a-2t \right)\le 0\Leftrightarrow a\le 2t$.
Do đó: $Q\le \dfrac{4}{t}-\dfrac{1}{27{{t}^{3}}}=f\left( t \right)$ với $t>0$. Đạo hàm ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{4}{{{t}^{2}}}+\dfrac{1}{9{{t}^{4}}}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{6}$ (vì $t>0$ )
Bảng biến thiên:
${{Q}_{\max }}=16\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b+c=\dfrac{1}{6} \\
& b=c \\
& 5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=9\left( ab+2bc+ca \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{3};b=c=\dfrac{1}{12}.$
Do đó; $A\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{12};\dfrac{1}{12} \right)$ $\Rightarrow $ $M\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right),N\left( 0;\dfrac{1}{12};0 \right),P\left( 0;0;\dfrac{1}{12} \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right):\dfrac{x}{\dfrac{1}{3}}+\dfrac{y}{\dfrac{1}{12}}+\dfrac{z}{\dfrac{1}{12}}=1.$
Vậy $\left( MNP \right):3x+12y+12z-1=0.$
Đáp án A.