Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;11;-5 \right)$ và mặt phẳng
$\left( P \right):2mx+\left( {{m}^{2}}+1 \right)y+\left( {{m}^{2}}-1 \right)z-10=0$. Biết rằng khi $m$ thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cùng đi qua $A$. Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $5\sqrt{2}$.
C. $7\sqrt{2}$.
D. $12\sqrt{2}$.
$\left( P \right):2mx+\left( {{m}^{2}}+1 \right)y+\left( {{m}^{2}}-1 \right)z-10=0$. Biết rằng khi $m$ thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cùng đi qua $A$. Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $5\sqrt{2}$.
C. $7\sqrt{2}$.
D. $12\sqrt{2}$.
Gọi $I\left( a;b;c \right),r$ lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu. Do mặt cầu tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên ta có
$r=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2ma+\left( {{m}^{2}}+1 \right)b+\left( {{m}^{2}}-1 \right)c-10 \right|}{\left( {{m}^{2}}+1 \right)\sqrt{2}}=\dfrac{\left| \left( b-c \right){{m}^{2}}+2ma+b-c-10 \right|}{\left( {{m}^{2}}+1 \right)\sqrt{2}}$
$\left| \left( b+c \right){{m}^{2}}+2ma+b-c-10 \right|=r\left( {{m}^{2}}+1 \right)\sqrt{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( b+c-r\sqrt{2} \right){{m}^{2}}+2ma+b-c-r\sqrt{2}-10=0\quad \left( 1 \right) \\
& \left( b+c+r\sqrt{2} \right){{m}^{2}}+2ma+b-c+r\sqrt{2}-10=0\quad \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $TH1: $ \left( b+c-r\sqrt{2} \right){{m}^{2}}+2ma+b-c-r\sqrt{2}-10=0\quad \left( 1 \right)$
Do m thay đổi vẫn có mặt cầu cố định tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên yêu cầu bài toán trờ thành tìm điều kiện $a,b,c$ sao cho $\left( 1 \right)$ không phụ thuộc vào $m$. Do đó $\left( 1 \right)$ luôn đúng với mọi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b+c-r\sqrt{2}=0 \\
& a=0 \\
& b-c-r\sqrt{2}-10=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=r\sqrt{2}+5=0 \\
& a=0 \\
& c=-5 \\
\end{aligned} \right. $ Suy ra $ I\left( 0;5+r\sqrt{2};-5 \right)\Rightarrow \left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-5-r\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( z+5 \right)}^{2}}={{r}^{2}}$.
Lại có $A\in \left( S \right)$ nên suy ra: $4+{{\left( -11-5-r\sqrt{2} \right)}^{2}}={{r}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}-12\sqrt{2}r+40=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& r=2\sqrt{2} \\
& r=10\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
TH2: $\left( b+c+r\sqrt{2} \right){{m}^{2}}+2ma+b-c+r\sqrt{2}-10=0$ làm tương tự TH1 (trường hợp này không thỏa đề bài )
Tóm lại: Khi $m$ thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cùng đi qua $A$ và có tổng bán kính là $12\sqrt{2}$.
$r=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2ma+\left( {{m}^{2}}+1 \right)b+\left( {{m}^{2}}-1 \right)c-10 \right|}{\left( {{m}^{2}}+1 \right)\sqrt{2}}=\dfrac{\left| \left( b-c \right){{m}^{2}}+2ma+b-c-10 \right|}{\left( {{m}^{2}}+1 \right)\sqrt{2}}$
$\left| \left( b+c \right){{m}^{2}}+2ma+b-c-10 \right|=r\left( {{m}^{2}}+1 \right)\sqrt{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( b+c-r\sqrt{2} \right){{m}^{2}}+2ma+b-c-r\sqrt{2}-10=0\quad \left( 1 \right) \\
& \left( b+c+r\sqrt{2} \right){{m}^{2}}+2ma+b-c+r\sqrt{2}-10=0\quad \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $TH1: $ \left( b+c-r\sqrt{2} \right){{m}^{2}}+2ma+b-c-r\sqrt{2}-10=0\quad \left( 1 \right)$
Do m thay đổi vẫn có mặt cầu cố định tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên yêu cầu bài toán trờ thành tìm điều kiện $a,b,c$ sao cho $\left( 1 \right)$ không phụ thuộc vào $m$. Do đó $\left( 1 \right)$ luôn đúng với mọi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b+c-r\sqrt{2}=0 \\
& a=0 \\
& b-c-r\sqrt{2}-10=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=r\sqrt{2}+5=0 \\
& a=0 \\
& c=-5 \\
\end{aligned} \right. $ Suy ra $ I\left( 0;5+r\sqrt{2};-5 \right)\Rightarrow \left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-5-r\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( z+5 \right)}^{2}}={{r}^{2}}$.
Lại có $A\in \left( S \right)$ nên suy ra: $4+{{\left( -11-5-r\sqrt{2} \right)}^{2}}={{r}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}-12\sqrt{2}r+40=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& r=2\sqrt{2} \\
& r=10\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
TH2: $\left( b+c+r\sqrt{2} \right){{m}^{2}}+2ma+b-c+r\sqrt{2}-10=0$ làm tương tự TH1 (trường hợp này không thỏa đề bài )
Tóm lại: Khi $m$ thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cùng đi qua $A$ và có tổng bán kính là $12\sqrt{2}$.
Đáp án D.