Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;2;-3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left( 3;4;-4 \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại $B$. Điểm $M$ thay đổi trong $\left( P \right)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới góc ${{90}^{\text{o}}}$. Khi độ dài $MB$ lớn nhất, đường thẳng $MB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. $H\left( -2;-1;3 \right)$.
B. $I\left( -1;-2;3 \right)$.
C. $K\left( 3;0;15 \right)$.
D. $J\left( -3;2;7 \right)$.
+ Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left( 3;4;-4 \right)$ có phương trình là
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2+4t \\
& z=-3-4t \\
\end{aligned} \right.$.
+ Ta có: $M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}$. Do đó ${{\left( MB \right)}_{\max }}$ khi và chỉ khi ${{\left( MA \right)}_{\min }}$.
+ Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right)$. Ta có: $AM\ge AE$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv E$.
Khi đó ${{\left( AM \right)}_{\min }}=AE$ và $MB$ qua $B$ nhận $\overrightarrow{BE}$ làm vectơ chỉ phương.
+ Ta có: $B\in d$ nên $B\left( 1+3t;2+4t;-3-4t \right)$ mà $B\in \left( P \right)$ suy ra:
$2\left( 1+3t \right)+2\left( 2+4t \right)-\left( -3-4t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-1$ $\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right)$.
+ Đường thẳng $AE$ qua $A\left( 1;2;-3 \right)$, nhận ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 2;2;-1 \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $E\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$.
Mặt khác, $E\in \left( P \right)$ nên $2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-2$ $\Rightarrow E\left( -3;-2;-1 \right)$.
+ Do đó đường thẳng. $MB$. qua $B\left( -2;-2;1 \right)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BE}=\left( -1;0;-2 \right)$ nên có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2-t \\
& y=-2 \\
& z=1-2t \\
\end{aligned} \right.$.
Thử các đáp án thấy điểm $I\left( -1;-2;3 \right)$ thỏa.
A. $H\left( -2;-1;3 \right)$.
B. $I\left( -1;-2;3 \right)$.
C. $K\left( 3;0;15 \right)$.
D. $J\left( -3;2;7 \right)$.
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2+4t \\
& z=-3-4t \\
\end{aligned} \right.$.
+ Ta có: $M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}$. Do đó ${{\left( MB \right)}_{\max }}$ khi và chỉ khi ${{\left( MA \right)}_{\min }}$.
+ Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right)$. Ta có: $AM\ge AE$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv E$.
Khi đó ${{\left( AM \right)}_{\min }}=AE$ và $MB$ qua $B$ nhận $\overrightarrow{BE}$ làm vectơ chỉ phương.
+ Ta có: $B\in d$ nên $B\left( 1+3t;2+4t;-3-4t \right)$ mà $B\in \left( P \right)$ suy ra:
$2\left( 1+3t \right)+2\left( 2+4t \right)-\left( -3-4t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-1$ $\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right)$.
+ Đường thẳng $AE$ qua $A\left( 1;2;-3 \right)$, nhận ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 2;2;-1 \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $E\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$.
Mặt khác, $E\in \left( P \right)$ nên $2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-2$ $\Rightarrow E\left( -3;-2;-1 \right)$.
+ Do đó đường thẳng. $MB$. qua $B\left( -2;-2;1 \right)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BE}=\left( -1;0;-2 \right)$ nên có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2-t \\
& y=-2 \\
& z=1-2t \\
\end{aligned} \right.$.
Thử các đáp án thấy điểm $I\left( -1;-2;3 \right)$ thỏa.
Đáp án B.