Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;-1;3 \right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{1-z}{2}$, ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$, cắt ${{d}_{2}}$ và vuông ${{d}_{1}}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua gốc tọa độ và chứa đường thẳng $d$. Biết mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a;b;1 \right)$. Biểu thức $a+b+1$ bằng
A. $10$.
B. $11$.
C. $12$.
D. $13$.
A. $10$.
B. $11$.
C. $12$.
D. $13$.
Gọi $B=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2+t;-1-t;1+t \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( t+1;-t;t-2 \right)$
Do $d\bot {{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow t+1+4\left( -t \right)-2\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2;-1;-1 \right)$
Do $A,B,O\in \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{OA} \right]=\left( 4;7;1 \right)$.
Do $d\bot {{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow t+1+4\left( -t \right)-2\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2;-1;-1 \right)$
Do $A,B,O\in \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{OA} \right]=\left( 4;7;1 \right)$.
Đáp án C.