Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;-1;3 \right)$ và hai đường thẳng:
${{d}_{1}}:\dfrac{x-4}{1} = \dfrac{y+2}{4} = \dfrac{z-1}{-2}, {{d}_{2}}: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-1}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$,
vuông góc với đường thẳng ${{d}_{1}}$ và cắt đường thẳng ${{d}_{2}}$.
A. $\dfrac{x-1}{2}= \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-3}{-1}$.
B. $\dfrac{x-1}{6}= \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-3}{5}$.
C. $\dfrac{x-1}{6}= \dfrac{y+1}{-4} = \dfrac{z-3}{-1}$.
D. $\dfrac{x-1}{2}= \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-3}{3}$.
${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y+1}{-1} =\dfrac{z-1}{1}$ nên phương trình tham số của ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right)$
Gọi đường thẳng $d$ cắt đường thẳng ${{d}_{2}}$ tại $M\left( 2+t;-1-t;1+t \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left( 1+t;-t;t-2 \right)$
Đường thẳng $d$ đi qua $A;M$ nên vectơ chỉ phương ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 1+t;-t;t-2 \right)$
Theo đề bài $d$ vuông góc ${{d}_{1}}$ $\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}.{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=0\Leftrightarrow 1.\left( 1+t \right)+4\left( -t \right)-2\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;-1 \right)$
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;-1;3 \right)$ và có ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;-1 \right)$ có dạng:
$\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-3}{-1}$.
${{d}_{1}}:\dfrac{x-4}{1} = \dfrac{y+2}{4} = \dfrac{z-1}{-2}, {{d}_{2}}: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-1}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$,
vuông góc với đường thẳng ${{d}_{1}}$ và cắt đường thẳng ${{d}_{2}}$.
A. $\dfrac{x-1}{2}= \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-3}{-1}$.
B. $\dfrac{x-1}{6}= \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-3}{5}$.
C. $\dfrac{x-1}{6}= \dfrac{y+1}{-4} = \dfrac{z-3}{-1}$.
D. $\dfrac{x-1}{2}= \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-3}{3}$.
Ta có: ${{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=\left( 1;4;-2 \right)$ ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y+1}{-1} =\dfrac{z-1}{1}$ nên phương trình tham số của ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right)$
Gọi đường thẳng $d$ cắt đường thẳng ${{d}_{2}}$ tại $M\left( 2+t;-1-t;1+t \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left( 1+t;-t;t-2 \right)$
Đường thẳng $d$ đi qua $A;M$ nên vectơ chỉ phương ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 1+t;-t;t-2 \right)$
Theo đề bài $d$ vuông góc ${{d}_{1}}$ $\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}.{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=0\Leftrightarrow 1.\left( 1+t \right)+4\left( -t \right)-2\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;-1 \right)$
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;-1;3 \right)$ và có ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;-1 \right)$ có dạng:
$\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-3}{-1}$.
Đáp án A.