Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 0;8;2 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình $\left( S \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-7 \right)}^{2}}=72$ và điểm $B\left( 9;-7;23 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ và tiếp xúc với $\left( S \right)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow{n}=\left( 1;m;n \right)\left( m,n\in \mathbb{Z} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$, tính tích $m.n$.
A. $m.n=2$
B. $m.n=-2$
C. $m.n=4$
D. $m.n=-4$
Cách 1:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 5;-3;7 \right)$ và bán kính $R=6\sqrt{2}$.
$\overrightarrow{IA}=\left( -5;11;-5 \right)\Rightarrow IA=\sqrt{171}>6\sqrt{2}$ nên điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu.
$\overrightarrow{IB}=\left( 4;-4;16 \right)\Rightarrow IB=12\sqrt{2}>6\sqrt{2}$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.
$\Rightarrow $ $A,I,B$ không thẳng hàng.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ và tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên khi $\left( P \right)$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua $A$ và tiếp điểm tạo thành hình nón.
Gọi $\left( AB,\left( P \right) \right)=\alpha \Rightarrow d\left( B,\left( P \right) \right)=AB.\sin \alpha $ đạt giá trị lớn nhất $A,B,I,H$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \left( AIB \right)\bot \left( P \right)$ ( $H$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( P \right)$ ).
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;m;n \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x+my-nz-8m-2n=0$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=R$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{\left| 5n-11m+5 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( 5n-11m+5 \right)}^{2}}=72\left( 1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow 49{{m}^{2}}-47{{n}^{2}}-110mn+50n-110m-47=0\ \ \left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Ta có: $\left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB} \right]=\left( 156;70;-24 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{1}}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( AIB \right)$, chọn $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 13;5;-2 \right)$.
Do $\left( AIB \right)\bot \left( P \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 13+5m-2n=0\ \ \left( 2 \right)$.
Thế (2) vào (1) ta được phương trình:
$2079{{m}^{2}}+8910m+6831=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=-\dfrac{6831}{2079}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$
Thay $m=-1$ vào (2) suy ra: $n=4$.
Vậy $m.n=-4$.
Cách 2:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 5;-3;7 \right)$ và bán kính $R=6\sqrt{2}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;m;n \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x+my+nz-8m-2n=0$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ :
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 5n-11m+5 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}=6\sqrt{2} \\
& \Leftrightarrow d\left( B,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 21n-15m+9 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}=\dfrac{\left| 5n-11m+5-4m+16n+4 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}} \\
& \le \dfrac{\left| 5n-11m+5 \right|+4\left| 4n-m+1 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\le 6\sqrt{2}+4\dfrac{\sqrt{\left( {{4}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{n}^{2}}+{{m}^{2}}+1 \right)}}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}=18\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{n}{4}=\dfrac{m}{-1}=\dfrac{1}{1}\Leftrightarrow m=-1;\ n=4$.
Vậy $m.n=-4$.
A. $m.n=2$
B. $m.n=-2$
C. $m.n=4$
D. $m.n=-4$
Cách 1:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 5;-3;7 \right)$ và bán kính $R=6\sqrt{2}$.
$\overrightarrow{IA}=\left( -5;11;-5 \right)\Rightarrow IA=\sqrt{171}>6\sqrt{2}$ nên điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu.
$\overrightarrow{IB}=\left( 4;-4;16 \right)\Rightarrow IB=12\sqrt{2}>6\sqrt{2}$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.
$\Rightarrow $ $A,I,B$ không thẳng hàng.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ và tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên khi $\left( P \right)$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua $A$ và tiếp điểm tạo thành hình nón.
Gọi $\left( AB,\left( P \right) \right)=\alpha \Rightarrow d\left( B,\left( P \right) \right)=AB.\sin \alpha $ đạt giá trị lớn nhất $A,B,I,H$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \left( AIB \right)\bot \left( P \right)$ ( $H$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( P \right)$ ).
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;m;n \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x+my-nz-8m-2n=0$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=R$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{\left| 5n-11m+5 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( 5n-11m+5 \right)}^{2}}=72\left( 1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow 49{{m}^{2}}-47{{n}^{2}}-110mn+50n-110m-47=0\ \ \left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Ta có: $\left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB} \right]=\left( 156;70;-24 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{1}}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( AIB \right)$, chọn $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 13;5;-2 \right)$.
Do $\left( AIB \right)\bot \left( P \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 13+5m-2n=0\ \ \left( 2 \right)$.
Thế (2) vào (1) ta được phương trình:
$2079{{m}^{2}}+8910m+6831=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=-\dfrac{6831}{2079}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$
Thay $m=-1$ vào (2) suy ra: $n=4$.
Vậy $m.n=-4$.
Cách 2:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 5;-3;7 \right)$ và bán kính $R=6\sqrt{2}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;m;n \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x+my+nz-8m-2n=0$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ :
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 5n-11m+5 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}=6\sqrt{2} \\
& \Leftrightarrow d\left( B,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 21n-15m+9 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}=\dfrac{\left| 5n-11m+5-4m+16n+4 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}} \\
& \le \dfrac{\left| 5n-11m+5 \right|+4\left| 4n-m+1 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\le 6\sqrt{2}+4\dfrac{\sqrt{\left( {{4}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{n}^{2}}+{{m}^{2}}+1 \right)}}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}=18\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{n}{4}=\dfrac{m}{-1}=\dfrac{1}{1}\Leftrightarrow m=-1;\ n=4$.
Vậy $m.n=-4$.
Đáp án D.