Google
Câu hỏi: Trong không gian vói hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( 0;1;9 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=25.$ Gọi (C) là giao tuyến của (S) với mặt phẳng (Oxy). Lấy hai điểm M, N trên (C) sao cho $MN=2\sqrt{5}.$ Khi tứ diện OAMN có thế tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây?
A. $\left( 5;5;0 \right).$
B. $\left( -\dfrac{1}{5};4;0 \right).$
C. $\left( \dfrac{12}{5};-3;0 \right).$
D. $\left( 4;6;0 \right).$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 3;4;4 \right)$ và bán kính $R=5.$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)\Rightarrow H\left( 3;4;0 \right).$
Đường tròn (C) có tâm là $H\left( 3;4;0 \right)$ và bán kính
$r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( Oxy \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3.$
Gọi E là trung điểm của MN, suy ra $ME=EN=\dfrac{MN}{2}=\sqrt{5}$ và $HE\bot MN.$
Ta có $OH=5>r$ nên O nằm ngoài đường tròn $\left( C \right);HE=\sqrt{{{r}^{2}}-M{{E}^{2}}}=2.$
Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên MN.
Ta có ${{V}_{OAMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( Oxy \right) \right).{{S}_{\Delta OMN}}=\dfrac{1}{3}.9.\dfrac{1}{2}OK.MN$
$=3\sqrt{5}.OK\le 3\sqrt{5}.OE\le 3\sqrt{5}.\left( OH+OE \right)=21\sqrt{5}.$
Đẳng thức xảy ra khi $K\equiv E$ và O, H, E thẳng hàng (H nằm giữa O và E).
Khi đó $\dfrac{OE}{OH}=\dfrac{OH+HE}{OH}=\dfrac{5+2}{5}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow OE=\dfrac{7}{5}OH\Rightarrow E\left( \dfrac{21}{5};\dfrac{28}{5};0 \right).$
Đường thẳng MN đi qua điểm $E\left( \dfrac{21}{5};\dfrac{28}{5};0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{k},\overrightarrow{OE} \right]=\left( -\dfrac{28}{5};\dfrac{21}{5};0 \right)$ làm một vecto chỉ phương
Do đó đường thẳng MN có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{21}{5}-\dfrac{28}{5}t \\
& y=\dfrac{28}{5}+\dfrac{21}{5}t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Vậy MN đi qua điểm $\left( 5;5;0 \right).$
A. $\left( 5;5;0 \right).$
B. $\left( -\dfrac{1}{5};4;0 \right).$
C. $\left( \dfrac{12}{5};-3;0 \right).$
D. $\left( 4;6;0 \right).$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 3;4;4 \right)$ và bán kính $R=5.$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)\Rightarrow H\left( 3;4;0 \right).$
Đường tròn (C) có tâm là $H\left( 3;4;0 \right)$ và bán kính
$r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( Oxy \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3.$
Gọi E là trung điểm của MN, suy ra $ME=EN=\dfrac{MN}{2}=\sqrt{5}$ và $HE\bot MN.$
Ta có $OH=5>r$ nên O nằm ngoài đường tròn $\left( C \right);HE=\sqrt{{{r}^{2}}-M{{E}^{2}}}=2.$
Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên MN.
Ta có ${{V}_{OAMN}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( Oxy \right) \right).{{S}_{\Delta OMN}}=\dfrac{1}{3}.9.\dfrac{1}{2}OK.MN$
$=3\sqrt{5}.OK\le 3\sqrt{5}.OE\le 3\sqrt{5}.\left( OH+OE \right)=21\sqrt{5}.$
Đẳng thức xảy ra khi $K\equiv E$ và O, H, E thẳng hàng (H nằm giữa O và E).
Khi đó $\dfrac{OE}{OH}=\dfrac{OH+HE}{OH}=\dfrac{5+2}{5}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow OE=\dfrac{7}{5}OH\Rightarrow E\left( \dfrac{21}{5};\dfrac{28}{5};0 \right).$
Đường thẳng MN đi qua điểm $E\left( \dfrac{21}{5};\dfrac{28}{5};0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{k},\overrightarrow{OE} \right]=\left( -\dfrac{28}{5};\dfrac{21}{5};0 \right)$ làm một vecto chỉ phương
Do đó đường thẳng MN có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{21}{5}-\dfrac{28}{5}t \\
& y=\dfrac{28}{5}+\dfrac{21}{5}t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Vậy MN đi qua điểm $\left( 5;5;0 \right).$
Đáp án A.