Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( 0;1;2 \right)$, mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-y+z-4=0$ và $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với $\left( \alpha \right)$ và đồng thời $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của $\left( P \right)$ và trục $\text{xO{x}'}$ là
A. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$
B. $M\left( 1;0;0 \right)$
C. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$
D. $M\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right)$
A. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$
B. $M\left( 1;0;0 \right)$
C. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$
D. $M\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( 0;1;2 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$.
Khi đó $\left( P \right):ax+by+cz-b-2c=0 \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$.
+ $\left( P \right)$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$ nên $a-b+c=0$.
+ $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là lớn nhất.
Ta có $d\left[ I,\left( P \right) \right]=\dfrac{\left| 3a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ với $I\left( 3;1;2 \right)$
$=\dfrac{3}{\sqrt{1+{{\left( 1+\dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+\dfrac{c}{a}+1}}\le 6$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=-2c\xrightarrow{{}}b=-c$.
Chọn $c=-1$, suy ra $\left( P \right):2x+y-z+1=0$. Khi đó $\left( P \right)\cap xO{x}'=M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
Khi đó $\left( P \right):ax+by+cz-b-2c=0 \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$.
+ $\left( P \right)$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$ nên $a-b+c=0$.
+ $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là lớn nhất.
Ta có $d\left[ I,\left( P \right) \right]=\dfrac{\left| 3a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ với $I\left( 3;1;2 \right)$
$=\dfrac{3}{\sqrt{1+{{\left( 1+\dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+\dfrac{c}{a}+1}}\le 6$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=-2c\xrightarrow{{}}b=-c$.
Chọn $c=-1$, suy ra $\left( P \right):2x+y-z+1=0$. Khi đó $\left( P \right)\cap xO{x}'=M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
Đáp án C.