Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( 0;1;2 \right)$, mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-y+z-4=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với $\left( \alpha \right)$ và đồng thời $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của $\left( P \right)$ và trục ${x}'Ox$ là
A. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
B. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$.
C. $M\left( 1;0;0 \right)$.
D. $M\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right)$.
A. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
B. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$.
C. $M\left( 1;0;0 \right)$.
D. $M\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;1;2 \right)$ và bán kính $R=4$, $IA=3<R\Rightarrow $ I nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$
Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến.
Khi đó ${{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)={{R}^{2}}\Rightarrow r$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d\left( I\left( P \right) \right)$ lớn nhất.
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( a;b;c \right),\left( P \right)\bot \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=a-b+c=0\Leftrightarrow b=a+c\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):ax+b\left( y-1 \right)+c\left( z-2 \right)=0$
Khi đó: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{3\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{3\left| a \right|}{\sqrt{2\left( {{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}} \right)}}=\dfrac{3}{\sqrt{2\left[ 1+\dfrac{c}{a}+{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}} \right]}}$
Do $1+\dfrac{c}{a}+{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{c}{a}+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}\le \dfrac{3}{4}\Rightarrow {{d}_{\max }}\Leftrightarrow \dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2}$
Chọn $a=2\Rightarrow c=-1\Rightarrow b=1\Rightarrow \left( P \right):2x+y-z+1=0\Rightarrow \left( P \right)\cap \left( xO{x}' \right)=M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến.
Khi đó ${{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)={{R}^{2}}\Rightarrow r$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d\left( I\left( P \right) \right)$ lớn nhất.
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( a;b;c \right),\left( P \right)\bot \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=a-b+c=0\Leftrightarrow b=a+c\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):ax+b\left( y-1 \right)+c\left( z-2 \right)=0$
Khi đó: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{3\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{3\left| a \right|}{\sqrt{2\left( {{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}} \right)}}=\dfrac{3}{\sqrt{2\left[ 1+\dfrac{c}{a}+{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}} \right]}}$
Do $1+\dfrac{c}{a}+{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{c}{a}+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}\le \dfrac{3}{4}\Rightarrow {{d}_{\max }}\Leftrightarrow \dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2}$
Chọn $a=2\Rightarrow c=-1\Rightarrow b=1\Rightarrow \left( P \right):2x+y-z+1=0\Rightarrow \left( P \right)\cap \left( xO{x}' \right)=M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
Đáp án A.