Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(l; 2; 3), mặt phẳng $\left( P \right):2x+y+z+5=0$. Mặt cầu tâm I(a; b; c) thỏa mãn đi qua A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và có bán kính nhỏ nhất. Tính $a+b+c$
A. 2.
B. -2.
C. $\dfrac{3}{2}.$
D. $-\dfrac{3}{2}.$
A. 2.
B. -2.
C. $\dfrac{3}{2}.$
D. $-\dfrac{3}{2}.$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Gọi $H=\Delta \cap \left( P \right)$ ta có $H\left( 1+2t;2+t;3+t \right)$ và $H\in \left( P \right)$ nên:
$2\left( 1+2t \right)+\left( 2+t \right)+\left( 3+t \right)+5=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -3;0;1 \right)$
Gọi K là hình chiếu của I trên (P), khi đó $IK=IA=R.$
Ta có R nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ 2R nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ IK + IA nhỏ nhất.
Mà $IK+IA\ge AK\ge AH=2\sqrt{6}$ nên bán kính R nhỏ nhất bằng $2\sqrt{6}$ khi và chỉ khi $K\equiv H$, và I là trung điểm AH. Suy ra $I\left( -1;1;2 \right)$. Vậy . $a+b+c=2$.
& x=1+2t \\
& y=2+t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Gọi $H=\Delta \cap \left( P \right)$ ta có $H\left( 1+2t;2+t;3+t \right)$ và $H\in \left( P \right)$ nên:
$2\left( 1+2t \right)+\left( 2+t \right)+\left( 3+t \right)+5=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -3;0;1 \right)$
Gọi K là hình chiếu của I trên (P), khi đó $IK=IA=R.$
Ta có R nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ 2R nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ IK + IA nhỏ nhất.
Mà $IK+IA\ge AK\ge AH=2\sqrt{6}$ nên bán kính R nhỏ nhất bằng $2\sqrt{6}$ khi và chỉ khi $K\equiv H$, và I là trung điểm AH. Suy ra $I\left( -1;1;2 \right)$. Vậy . $a+b+c=2$.
Đáp án A.