Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(0;1;2)$, mặt phẳng vuông góc với $(\alpha ):x-y+z-4=0$ và $(S):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với $(\alpha )$ và đồng thời $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M và $(P)$ và trục $xO{x}'$ là
A. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$
B. $M(1;0;0)$
C. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$
D. $M\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right)$
A. $M\left( -\dfrac{1}{3};0;0 \right)$
B. $M(1;0;0)$
C. $M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$
D. $M\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right)$
HD: Mặt phẳng $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A(0;1;2)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$.
Khi đó $(P):ax+by+cz-b-2c=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$
$(P)$ vuông góc với $(\alpha )$ nên $a-b+c=0$
$(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất.
Ta có $d\left[ I,(P) \right]=\dfrac{\left| 3\text{a} \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ với $I(3;1;2)$
$=\dfrac{3}{\sqrt{1+{{\left( 1+\dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+\dfrac{c}{a}+1}}\le \sqrt{6}$.
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=-2c\xrightarrow{{}}b=-c$.
Chọn $c=-1$, suy ra $(P):2\text{x}+y-z+1=0$. Khi đó $(P)\cap xO{x}'=M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
Khi đó $(P):ax+by+cz-b-2c=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$
$(P)$ vuông góc với $(\alpha )$ nên $a-b+c=0$
$(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất.
Ta có $d\left[ I,(P) \right]=\dfrac{\left| 3\text{a} \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ với $I(3;1;2)$
$=\dfrac{3}{\sqrt{1+{{\left( 1+\dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{{{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}+\dfrac{c}{a}+1}}\le \sqrt{6}$.
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=-2c\xrightarrow{{}}b=-c$.
Chọn $c=-1$, suy ra $(P):2\text{x}+y-z+1=0$. Khi đó $(P)\cap xO{x}'=M\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$.
Đáp án C.