Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-z-2=0$, $\left( Q \right):x-2y+z+2=0,\left( R \right):x+y-2z+2=0$ và $\left( T \right):x+y+z=0$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc $\left( T \right)$ và tiếp xúc với $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I=\left( a;b;c \right)\in \left( T \right)\Rightarrow a+b+c=0$
Theo đề bài, ta có $d\left[ I,\left( P \right) \right]=d\left[ I,\left( Q \right) \right]=d\left[ I,\left( R \right) \right]$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2a-b-c-2 \right|}{\sqrt{6}}=\dfrac{\left| a-2b+c+2 \right|}{\sqrt{6}}=\dfrac{\left| a+b-2c+2 \right|}{\sqrt{6}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2a-b-c-2 \right|=\left| a-2b+c+2 \right| \\
& \left| 2a-b-c-2 \right|=\left| a+b-2c+2 \right| \\
\end{aligned} \right.\overset{a+b+c=0}{\longleftrightarrow}\left\{ \begin{aligned}
& \left| 3a-2 \right|=\left| 3b-2 \right| \\
& \left| 3a-2 \right|=\left| 3c-2 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& a=b \\
& 3a+3b=4 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& a=c \\
& 3a+3c=4 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Trường hợp 1 $\left\{ \begin{aligned}
& a+b+c=0 \\
& a=b \\
& a=c \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 0;0;0 \right)$
Tương tự cho ba trường hợp còn lại ta chọn được đáp án D.
Theo đề bài, ta có $d\left[ I,\left( P \right) \right]=d\left[ I,\left( Q \right) \right]=d\left[ I,\left( R \right) \right]$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2a-b-c-2 \right|}{\sqrt{6}}=\dfrac{\left| a-2b+c+2 \right|}{\sqrt{6}}=\dfrac{\left| a+b-2c+2 \right|}{\sqrt{6}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2a-b-c-2 \right|=\left| a-2b+c+2 \right| \\
& \left| 2a-b-c-2 \right|=\left| a+b-2c+2 \right| \\
\end{aligned} \right.\overset{a+b+c=0}{\longleftrightarrow}\left\{ \begin{aligned}
& \left| 3a-2 \right|=\left| 3b-2 \right| \\
& \left| 3a-2 \right|=\left| 3c-2 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& a=b \\
& 3a+3b=4 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& a=c \\
& 3a+3c=4 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Trường hợp 1 $\left\{ \begin{aligned}
& a+b+c=0 \\
& a=b \\
& a=c \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 0;0;0 \right)$
Tương tự cho ba trường hợp còn lại ta chọn được đáp án D.
Đáp án D.