Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 6; 0; 0 \right), B\left( 0; 4; 0 \right)$ và $C\left( 0; 0; 2 \right)$. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có phương trình là
A. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=56$.
B. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=28$.
C. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14$.
D. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=28$.
A. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=56$.
B. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=28$.
C. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14$.
D. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=28$.
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có dạng:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0 \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$
Do $O, A, B, C\in \left( S \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& 36-12a+d=0 \\
& 16-8b+d=0 \\
& 4-4c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& a=3 \\
& b=2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{14}$
Mặt cầu tâm $I\left( 3; 2; 1 \right), R=\sqrt{14}$ có phương trình ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14$.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0 \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$
Do $O, A, B, C\in \left( S \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& 36-12a+d=0 \\
& 16-8b+d=0 \\
& 4-4c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=0 \\
& a=3 \\
& b=2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{14}$
Mặt cầu tâm $I\left( 3; 2; 1 \right), R=\sqrt{14}$ có phương trình ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14$.
Đáp án C.