Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( 5;8;-11 \right),B\left( 3;5;-4 \right),C\left( 2;1;-6 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$. Gọi $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}} \right)$ là điểm trên mặt cầu (S) sao cho biểu thức $\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $P=2{{\text{x}}_{M}}+3{{y}_{M}}$
A. P = 4.
B. P = 1.
C. P = -3.
D. P = 2.
A. P = 4.
B. P = 1.
C. P = -3.
D. P = 2.
Gọi điểm $G\left( x;y;z \right)$ sao cho $\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{GC}\Rightarrow G\left( 0;-2;1 \right)$
Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$ có tâm $I\left( 4;2;-1 \right)$ và bán kính R = 3.
Ta có $\overrightarrow{IG}=\left( 4;-4;2 \right)\Rightarrow IG=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=6>R\Rightarrow G$ nằm ngoài mặt cầu (S)
Ta có $\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|=\left| -\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC} \right|=\left| \overrightarrow{GM} \right|=MG$
Để $\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất thì MG nhỏ nhất $\Leftrightarrow I,M,G$ thẳng hàng.
Do $IG=6=2\text{R}\Rightarrow M$ chính là trung điểm của IG
$\Leftrightarrow M\left( 2;0;0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=2 \\
& {{y}_{M}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=4.$
Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$ có tâm $I\left( 4;2;-1 \right)$ và bán kính R = 3.
Ta có $\overrightarrow{IG}=\left( 4;-4;2 \right)\Rightarrow IG=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=6>R\Rightarrow G$ nằm ngoài mặt cầu (S)
Ta có $\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|=\left| -\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC} \right|=\left| \overrightarrow{GM} \right|=MG$
Để $\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất thì MG nhỏ nhất $\Leftrightarrow I,M,G$ thẳng hàng.
Do $IG=6=2\text{R}\Rightarrow M$ chính là trung điểm của IG
$\Leftrightarrow M\left( 2;0;0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=2 \\
& {{y}_{M}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=4.$
Đáp án A.