Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(l; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; l). Xét ba mặt cầu tiếp xúc ngoài với nhau đôi một và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) lần lượt tại A, B, C. Tổng diện tích của ba mặt cầu trên là
A. $\dfrac{33\pi }{2}.$
B. $36\pi .$
C. $\dfrac{31\pi }{2}.$
D. $54\pi .$
Gọi ba mặt cầu thỏa mãn là $\left( {{I}_{1}},{{r}_{1}} \right),\left( {{I}_{2}},{{r}_{2}} \right)$ và $\left( {{I}_{3}},{{r}_{3}} \right)$ lần lượt tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) tại ba điểm A, B, C.
Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}A\bot \left( ABC \right) \\
& {{I}_{2}}B\bot \left( ABC \right) \\
& {{I}_{3}}C\bot \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}A//{{I}_{2}}B//{{I}_{3}}C \\
& {{I}_{1}}A={{r}_{1}},{{I}_{2}}B={{r}_{2}},{{I}_{3}}C={{r}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$
Các mặt cầu trên tiếp xúc ngoài với nhau nên ${{I}_{1}}{{I}_{2}}={{r}_{1}}+{{r}_{2}}={{I}_{1}}A+{{I}_{2}}B.$.
Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$. Khi đó EK là đường trung bình của hình thang vuông $AB{{I}_{2}}{{I}_{1}}$ (vuông tại A, B)
Và $EK=\dfrac{{{I}_{1}}A+{{I}_{2}}B}{2}=\dfrac{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}{2}=\dfrac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}{2}=K{{I}_{1}}=K{{I}_{2}}$. Suy ra tam giác ${{I}_{1}}E{{I}_{2}}$ vuông tại E
$\Rightarrow \Delta AE{{I}_{1}}$ ∾ $\Delta B{{I}_{2}}E\Rightarrow \dfrac{AE}{B{{I}_{2}}}=\dfrac{A{{I}_{1}}}{BE}\Rightarrow A{{I}_{1}}.B{{I}_{2}}=AE.BE$ hay ${{r}_{1}}.{{r}_{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{5}{4}$
Tương tự ta tìm được ${{r}_{2}}{{r}_{3}}=\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{5}{4}$ và ${{r}_{1}}{{r}_{3}}=\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{1}{2}$. Từ đó có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{r}_{1}}{{r}_{2}}=\dfrac{5}{4} \\
& {{r}_{2}}{{r}_{3}}=\dfrac{5}{4} \\
& {{r}_{1}}{{r}_{3}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{\left( {{r}_{1}}{{r}_{2}}{{r}_{3}} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{32}\Rightarrow r_{3}^{2}=\dfrac{25}{32{{\left( {{r}_{1}}{{r}_{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2};r_{1}^{2}=\dfrac{25}{32{{\left( {{r}_{2}}{{r}_{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2};r_{2}^{2}=\dfrac{25}{32{{\left( {{r}_{1}}{{r}_{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{25}{8}.$
Vậy tổng diện tích của ba mặt cầu là $S=4\pi \left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right)=4\pi \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{25}{8} \right)=\dfrac{33\pi }{2}$
A. $\dfrac{33\pi }{2}.$
B. $36\pi .$
C. $\dfrac{31\pi }{2}.$
D. $54\pi .$
Gọi ba mặt cầu thỏa mãn là $\left( {{I}_{1}},{{r}_{1}} \right),\left( {{I}_{2}},{{r}_{2}} \right)$ và $\left( {{I}_{3}},{{r}_{3}} \right)$ lần lượt tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) tại ba điểm A, B, C.
Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}A\bot \left( ABC \right) \\
& {{I}_{2}}B\bot \left( ABC \right) \\
& {{I}_{3}}C\bot \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}A//{{I}_{2}}B//{{I}_{3}}C \\
& {{I}_{1}}A={{r}_{1}},{{I}_{2}}B={{r}_{2}},{{I}_{3}}C={{r}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$
Các mặt cầu trên tiếp xúc ngoài với nhau nên ${{I}_{1}}{{I}_{2}}={{r}_{1}}+{{r}_{2}}={{I}_{1}}A+{{I}_{2}}B.$.
Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$. Khi đó EK là đường trung bình của hình thang vuông $AB{{I}_{2}}{{I}_{1}}$ (vuông tại A, B)
Và $EK=\dfrac{{{I}_{1}}A+{{I}_{2}}B}{2}=\dfrac{{{r}_{1}}+{{r}_{2}}}{2}=\dfrac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}{2}=K{{I}_{1}}=K{{I}_{2}}$. Suy ra tam giác ${{I}_{1}}E{{I}_{2}}$ vuông tại E
$\Rightarrow \Delta AE{{I}_{1}}$ ∾ $\Delta B{{I}_{2}}E\Rightarrow \dfrac{AE}{B{{I}_{2}}}=\dfrac{A{{I}_{1}}}{BE}\Rightarrow A{{I}_{1}}.B{{I}_{2}}=AE.BE$ hay ${{r}_{1}}.{{r}_{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{5}{4}$
Tương tự ta tìm được ${{r}_{2}}{{r}_{3}}=\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{5}{4}$ và ${{r}_{1}}{{r}_{3}}=\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{1}{2}$. Từ đó có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{r}_{1}}{{r}_{2}}=\dfrac{5}{4} \\
& {{r}_{2}}{{r}_{3}}=\dfrac{5}{4} \\
& {{r}_{1}}{{r}_{3}}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{\left( {{r}_{1}}{{r}_{2}}{{r}_{3}} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{32}\Rightarrow r_{3}^{2}=\dfrac{25}{32{{\left( {{r}_{1}}{{r}_{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2};r_{1}^{2}=\dfrac{25}{32{{\left( {{r}_{2}}{{r}_{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2};r_{2}^{2}=\dfrac{25}{32{{\left( {{r}_{1}}{{r}_{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{25}{8}.$
Vậy tổng diện tích của ba mặt cầu là $S=4\pi \left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right)=4\pi \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{25}{8} \right)=\dfrac{33\pi }{2}$
Đáp án A.