Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left( 7;2;3...

Giả sử $M\left( x+1;y+2;z+3 \right).$
Ta có $MA=\sqrt{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\ge \left| x-6 \right|\ge 6-x.$
$MB=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}\ge \left| y-2 \right|\ge 2-y$
$MC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}}\ge \left| z-3 \right|\ge 3-z$
$\sqrt{3}MD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}\ge x+y+z$
Do đó $P=MA+MB+MC+\sqrt{3}MD\ge 6-x+2-y+3-z+x+y+z=11$
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}=6-x \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}=2-y \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}}=3-z \\
& \sqrt{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}=z+y+z \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 6-x\ge 0 \\
& 2-y\ge 0 \\
& 3-z\ge 0 \\
& x+y+z\ge 0 \\
& x=y=z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=z=0\Rightarrow M\left( 1;2;3 \right) $ khi đó $ OM=\sqrt{14}$