Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left( 7;2;3...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

A (7; 2; 3), B (1; 4; 3), C (1; 2; 6), D (1; 2; 3)

và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức

P = M A + M B + M C + \sqrt{3} M D

đạt giá trị nhỏ nhất
A.

O M = \frac{3 \sqrt{21}}{4}

B.

O M = \sqrt{26}

C.

O M = \sqrt{14}

D.

O M = \frac{5 \sqrt{17}}{4}

Giả sử

M (x + 1; y + 2; z + 3) .

Ta có

M A = \sqrt{{(x - 6)}^{2} + y^{2} + z^{2}} \geq | x - 6 | \geq 6 - x .

M B = \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2}} \geq | y - 2 | \geq 2 - y

M C = \sqrt{x^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2}} \geq | z - 3 | \geq 3 - z

\sqrt{3} M D = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \geq \sqrt{{(x + y + z)}^{2}} \geq x + y + z

Do đó

P = M A + M B + M C + \sqrt{3} M D \geq 6 - x + 2 - y + 3 - z + x + y + z = 11

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi và chỉ khi

{\begin{aligned} \sqrt{{(x - 6)}^{2} + y^{2} + z^{2}} = 6 - x \\ \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2}} = 2 - y \\ \sqrt{x^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2}} = 3 - z \\ \sqrt{3 (x^{2} + y^{2} + z^{2})} = z + y + z \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 6 - x \geq 0 \\ 2 - y \geq 0 \\ 3 - z \geq 0 \\ x + y + z \geq 0 \\ x = y = z = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow x = y = z = 0 \Rightarrow M (1; 2; 3)

khi đó

O M = \sqrt{14}

Đáp án C.