Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng
$\left( {{d}_{1}} \right):\dfrac{{{x}_{1}}}{1}=\dfrac{-1+y}{2}=\dfrac{z+1}{-1}, \left( {{d}_{2}} \right):\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{-z}{2}, \left( {{d}_{3}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=-3t+1 \\
& z=4t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( m; n; -2 \right)$ cắt $\left( {{d}_{1}} \right), \left( {{d}_{2}} \right), \left( {{d}_{3}} \right)$ lần lượt tại A, B, C sao cho $AB=AC$. Tính $P=m+n$ ?
A. $P=21$
B. $P=13$
C. $P=15$
D. $P=19$
$\left( {{d}_{1}} \right):\dfrac{{{x}_{1}}}{1}=\dfrac{-1+y}{2}=\dfrac{z+1}{-1}, \left( {{d}_{2}} \right):\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{-z}{2}, \left( {{d}_{3}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=-3t+1 \\
& z=4t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( m; n; -2 \right)$ cắt $\left( {{d}_{1}} \right), \left( {{d}_{2}} \right), \left( {{d}_{3}} \right)$ lần lượt tại A, B, C sao cho $AB=AC$. Tính $P=m+n$ ?
A. $P=21$
B. $P=13$
C. $P=15$
D. $P=19$
Gọi $A\left( a; 1+2a; -1-a \right)\in \left( {{d}_{1}} \right), C\left( 3; 1-3c; 4c \right)\in \left( {{d}_{2}} \right)$
Ta có B là trung điểm của AC $\Rightarrow B\left( \dfrac{a+3}{2}; \dfrac{2a-3c+2}{2}; \dfrac{-a+4c-1}{2} \right)$
Vì $B\in \left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{a+3}{2}-1}{2}=\dfrac{\dfrac{2a-3c+2}{2}+1}{1}=\dfrac{\dfrac{-a+4c-1}{2}}{-2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{7}{3} \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương $\overrightarrow{AC}\left( \dfrac{16}{3}; \dfrac{14}{3}; -\dfrac{4}{3} \right)=\dfrac{2}{3}\left( 8; 7; -2 \right)$
Vì vậy một vecto chỉ phương thỏa yê cầu bài toán là $\overrightarrow{u}\left( 8; 7; -2 \right)\Rightarrow m+n=15$
Ta có B là trung điểm của AC $\Rightarrow B\left( \dfrac{a+3}{2}; \dfrac{2a-3c+2}{2}; \dfrac{-a+4c-1}{2} \right)$
Vì $B\in \left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{a+3}{2}-1}{2}=\dfrac{\dfrac{2a-3c+2}{2}+1}{1}=\dfrac{\dfrac{-a+4c-1}{2}}{-2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{7}{3} \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương $\overrightarrow{AC}\left( \dfrac{16}{3}; \dfrac{14}{3}; -\dfrac{4}{3} \right)=\dfrac{2}{3}\left( 8; 7; -2 \right)$
Vì vậy một vecto chỉ phương thỏa yê cầu bài toán là $\overrightarrow{u}\left( 8; 7; -2 \right)\Rightarrow m+n=15$
Đáp án C.