Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với a, b, c là những số dương thay đổi thỏa mãn ${{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+16{{c}^{2}}=49$ và khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(ABC)$ đạt giá trị lớn nhất. Tính diện tích tam giác ABC.
A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{7\sqrt{7}}{16}$
C. $\dfrac{7\sqrt{7}}{4}$
D. $\dfrac{7}{4}$
A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{7\sqrt{7}}{16}$
C. $\dfrac{7\sqrt{7}}{4}$
D. $\dfrac{7}{4}$
Ta có $(ABC):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Suy ra $d\left( O,(ABC) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}$.
Theo giả thiết $49={{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+16{{c}^{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}}+\dfrac{4}{\dfrac{1}{{{b}^{2}}}}+\dfrac{16}{\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}\ge \dfrac{{{\left( 1+2+4 \right)}^{2}}}{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}$.
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}\ge \Rightarrow d\left( O,(ABC) \right)\le 1$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=2{{b}^{2}}=4{{c}^{2}} \\
& \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=7 \\
& {{b}^{2}}=\dfrac{7}{2} \\
& {{c}^{2}}=\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\sqrt{7} \\
& b=\dfrac{\sqrt{14}}{2} \\
& c=\dfrac{\sqrt{7}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A\left( \sqrt{7};0;0 \right),B\left( 0;\dfrac{\sqrt{14}}{2};0 \right),C\left( 0;0;\dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{7\sqrt{7}}{16}$.
Theo giả thiết $49={{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+16{{c}^{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}}+\dfrac{4}{\dfrac{1}{{{b}^{2}}}}+\dfrac{16}{\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}\ge \dfrac{{{\left( 1+2+4 \right)}^{2}}}{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}$.
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}\ge \Rightarrow d\left( O,(ABC) \right)\le 1$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=2{{b}^{2}}=4{{c}^{2}} \\
& \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=7 \\
& {{b}^{2}}=\dfrac{7}{2} \\
& {{c}^{2}}=\dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\sqrt{7} \\
& b=\dfrac{\sqrt{14}}{2} \\
& c=\dfrac{\sqrt{7}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A\left( \sqrt{7};0;0 \right),B\left( 0;\dfrac{\sqrt{14}}{2};0 \right),C\left( 0;0;\dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{7\sqrt{7}}{16}$.
Đáp án B.