Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M\left( 6;0;0 \right)$, $N\left( 0;6;0 \right)$, $P\left( 0;0;6 \right)$. Hai mặt cầu có phương trình $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo đường tròn $\left( C \right)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ NP,\ PM$.
A. $1$.
B. $3$.
C. Vô số.
D. $4$.
Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\in \left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ NP,\ PM$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( MNP \right)$.
Ta có: $\left( S \right)$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ NP,\ PM$
$\Leftrightarrow d\left( I,MN \right)=d\left( I,NP \right)=d\left( I,PM \right)$ $\Leftrightarrow d\left( H,MN \right)=d\left( H,NP \right)=d\left( H,PM \right)$
$\Leftrightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $MNP$.
$\left( MNP \right)$ có phương trình là $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1$ hay $x+y+z-6=0$.
$\left( C \right)=\left( {{S}_{1}} \right)\cap \left( {{S}_{2}} \right)$ $\Rightarrow $ Tọa độ các điểm thuộc trên $\left( C \right)$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow 3x-2y-z=0$.
Do đó, phương trình chứa mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ là $\left( \alpha \right):3x-2y-z=0$.
Vì $1.3+1.\left( -2 \right)+1.\left( -1 \right)=0$ $\Rightarrow \left( MNP \right)\bot \left( \alpha \right)$. $\left( 1 \right)$
Ta có: $MN=NP=PM=6\sqrt{2}$ $\Rightarrow \Delta MNP$ đều.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNP$ $\Rightarrow G\left( 2;2;2 \right)$ và $G$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$. Thay tọa độ của điểm $G$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, ta có: $G\in \left( \alpha \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng vuông góc với $\left( MNP \right)$ tại $G$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MNP \right)\bot \left( \alpha \right) \\
& G\in \left( \alpha \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \Delta \subset \left( \alpha \right)$.
Khi đó: $\forall I\in \Delta $ $\Rightarrow d\left( I,MN \right)=d\left( I,NP \right)$ $=d\left( I,PM \right)=r$
$\Rightarrow $ Mặt cầu tâm $I$ bán kính $r$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN$, $NP$, $PM$.
Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ MP,\ PM$.
A. $1$.
B. $3$.
C. Vô số.
D. $4$.
Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\in \left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ NP,\ PM$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( MNP \right)$.
Ta có: $\left( S \right)$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ NP,\ PM$
$\Leftrightarrow d\left( I,MN \right)=d\left( I,NP \right)=d\left( I,PM \right)$ $\Leftrightarrow d\left( H,MN \right)=d\left( H,NP \right)=d\left( H,PM \right)$
$\Leftrightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $MNP$.
$\left( MNP \right)$ có phương trình là $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1$ hay $x+y+z-6=0$.
$\left( C \right)=\left( {{S}_{1}} \right)\cap \left( {{S}_{2}} \right)$ $\Rightarrow $ Tọa độ các điểm thuộc trên $\left( C \right)$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow 3x-2y-z=0$.
Do đó, phương trình chứa mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ là $\left( \alpha \right):3x-2y-z=0$.
Vì $1.3+1.\left( -2 \right)+1.\left( -1 \right)=0$ $\Rightarrow \left( MNP \right)\bot \left( \alpha \right)$. $\left( 1 \right)$
Ta có: $MN=NP=PM=6\sqrt{2}$ $\Rightarrow \Delta MNP$ đều.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNP$ $\Rightarrow G\left( 2;2;2 \right)$ và $G$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$. Thay tọa độ của điểm $G$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, ta có: $G\in \left( \alpha \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng vuông góc với $\left( MNP \right)$ tại $G$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MNP \right)\bot \left( \alpha \right) \\
& G\in \left( \alpha \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \Delta \subset \left( \alpha \right)$.
Khi đó: $\forall I\in \Delta $ $\Rightarrow d\left( I,MN \right)=d\left( I,NP \right)$ $=d\left( I,PM \right)=r$
$\Rightarrow $ Mặt cầu tâm $I$ bán kính $r$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN$, $NP$, $PM$.
Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ MP,\ PM$.
Đáp án C.