Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( a;0;0 \right)$ ; $B\left( 0;b;0 \right)$ ; $C\left( 0;0;c \right)$ với $a,b,c>0$. Biết rằng $\left( ABC \right)$ đi qua điểm $M\left( \dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{3}{7} \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{72}{7}$. Tính $\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}$.
A. 14.
B. $\dfrac{1}{7}$.
C. 7.
D. $\dfrac{7}{2}$.
A. 14.
B. $\dfrac{1}{7}$.
C. 7.
D. $\dfrac{7}{2}$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Vì $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=7$.
Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{72}{7}$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=\dfrac{6\sqrt{14}}{7}$.
Khoảng cách từ $I\xrightarrow[{}]{{}}mp\left( ABC \right)$ là $d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=\dfrac{6}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}$.
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $mp\left( ABC \right)\Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{7}{2}$.
Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{72}{7}$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=\dfrac{6\sqrt{14}}{7}$.
Khoảng cách từ $I\xrightarrow[{}]{{}}mp\left( ABC \right)$ là $d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=\dfrac{6}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}$.
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $mp\left( ABC \right)\Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{7}{2}$.
Đáp án D.