Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( a;0;0...

Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ $\left( a,b,c>0 \right)$
Vì mặt phẳng $\left( ABC \right)$ đi qua $I\left( 2;1;9 \right)$ nên $\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{9}{c}=1$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có:
$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{9}{c}\ge 3.\sqrt[3]{\dfrac{2}{a}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{9}{c}}\Leftrightarrow 1\ge 3.\sqrt[3]{\dfrac{18}{abc}}\Leftrightarrow \sqrt[3]{\dfrac{18}{abc}}\le \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{18}{abc}\le \dfrac{1}{27}\Leftrightarrow abc\ge 486$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{9}{c} \\
& \dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{9}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& b=3 \\
& c=27 \\
\end{aligned} \right.$
Thể tích khối chóp $OABC$ là: ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}abc\ge 81$
Suy ra, thể tích khối chóp $OABC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $81$.
Khi đó, phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{27}=1\Leftrightarrow 9x+18y+2z-54=0$