Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( -2; 1; 0 \right)$, $B\left( 4; 4; -3 \right)$, $C\left( 2; 3; -2 \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $\left( d \right)$ sao cho A, B, C ở cùng phía đối với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Gọi ${{d}_{1}}$, ${{\text{d}}_{2}}$, ${{\text{d}}_{3}}$ lần lượt là khoảng cách từ A, B, C đến $\left( \alpha \right)$. Giá trị lớn nhất của $T={{d}_{1}}+2{{\text{d}}_{2}}+3{{\text{d}}_{3}}$ là
A. ${{T}_{\max }}=2\sqrt{21}$
B. ${{T}_{\max }}=6\sqrt{14}$.
C. ${{T}_{\max }}=\sqrt{14}+\dfrac{\sqrt{203}}{3}+3\sqrt{21}$
D. ${{T}_{\max }}=\sqrt{203}$
Ta có $AB=3\sqrt{6}$, $AC=2\sqrt{6}$, $BC=\sqrt{6}$. Ta có $T={{d}_{1}}+2{{\text{d}}_{2}}+3{{\text{d}}_{3}}={{d}_{1}}+{{d}_{2}}+{{d}_{2}}+{{d}_{3}}+2{{\text{d}}_{3}}$.
Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC ta có $2\text{d}\left( M; \left( \alpha \right) \right)={{d}_{1}}+{{d}_{2}}$ và $2\text{d}\left( N; \left( \alpha \right) \right)={{d}_{2}}+{{d}_{3}}$.
Gọi G là trọng tâm tam giác MNC. Khi đó ta có $T=2\text{d}\left( M; \left( \alpha \right) \right)+2\text{d}\left( N; \left( \alpha \right) \right)+2{{\text{d}}_{3}}=6\text{d}\left( G; \left( \alpha \right) \right)$.
Do đó $T=6\text{d}\left( G; \left( \alpha \right) \right)\le 6\text{d}\left( G; \left( d \right) \right)$. Ta có $M\left( 1; \dfrac{5}{2}; \dfrac{-3}{2} \right)$ ; $N\left( 3; \dfrac{7}{2}; \dfrac{-5}{2} \right)$ suy ra $G\left( 2; 3; -2 \right)$.
Gọi $H\left( 1+t; 1-2t; 1-t \right)$ là hình chiếu của G lên đường thẳng (d), ta có $\overrightarrow{GH}\left( t-1; -2t-2; 3-t \right)$. $\overrightarrow{GH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)-2\left( -2t-2 \right)-\left( 3-t \right)=0\Leftrightarrow t=0$.
Vậy ${{T}_{\max }}=6GH=6\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}=6\sqrt{14}$
A. ${{T}_{\max }}=2\sqrt{21}$
B. ${{T}_{\max }}=6\sqrt{14}$.
C. ${{T}_{\max }}=\sqrt{14}+\dfrac{\sqrt{203}}{3}+3\sqrt{21}$
D. ${{T}_{\max }}=\sqrt{203}$
Ta có $AB=3\sqrt{6}$, $AC=2\sqrt{6}$, $BC=\sqrt{6}$. Ta có $T={{d}_{1}}+2{{\text{d}}_{2}}+3{{\text{d}}_{3}}={{d}_{1}}+{{d}_{2}}+{{d}_{2}}+{{d}_{3}}+2{{\text{d}}_{3}}$.
Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC ta có $2\text{d}\left( M; \left( \alpha \right) \right)={{d}_{1}}+{{d}_{2}}$ và $2\text{d}\left( N; \left( \alpha \right) \right)={{d}_{2}}+{{d}_{3}}$.
Gọi G là trọng tâm tam giác MNC. Khi đó ta có $T=2\text{d}\left( M; \left( \alpha \right) \right)+2\text{d}\left( N; \left( \alpha \right) \right)+2{{\text{d}}_{3}}=6\text{d}\left( G; \left( \alpha \right) \right)$.
Do đó $T=6\text{d}\left( G; \left( \alpha \right) \right)\le 6\text{d}\left( G; \left( d \right) \right)$. Ta có $M\left( 1; \dfrac{5}{2}; \dfrac{-3}{2} \right)$ ; $N\left( 3; \dfrac{7}{2}; \dfrac{-5}{2} \right)$ suy ra $G\left( 2; 3; -2 \right)$.
Gọi $H\left( 1+t; 1-2t; 1-t \right)$ là hình chiếu của G lên đường thẳng (d), ta có $\overrightarrow{GH}\left( t-1; -2t-2; 3-t \right)$. $\overrightarrow{GH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)-2\left( -2t-2 \right)-\left( 3-t \right)=0\Leftrightarrow t=0$.
Vậy ${{T}_{\max }}=6GH=6\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}=6\sqrt{14}$
Đáp án B.