Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( 2;0;0 \right)$, $B\left( 0;4;0 \right)$, $C\left( 0;0;6 \right)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $N$ là điểm trên tia $OM$ sao cho $OM.ON=12$. Biết rằng khi $M$ thay đổi, điểm $N$ luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.
A. $\dfrac{7}{2}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
A. $\dfrac{7}{2}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $2\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0$
Gọi $N\left( x;y;z \right)$
Theo giả thiết ta có $N$ là điểm trên tia $OM$ sao cho $OM.ON=12$ suy ra $\overrightarrow{OM}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}$
Do đó $M\left( \dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)$.
Mặt khác $M\in \left( ABC \right)$ nên $6\dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+2\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-12=0$
$\Leftrightarrow 6x+3y+2z-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-3y-2z=0$.
Do đó điểm $N$ luôn thuộc một mặt cầu cố định $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-3y-2z=0$ có tâm $I\left( 3;\dfrac{3}{2};1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=\dfrac{7}{2}$.
Gọi $N\left( x;y;z \right)$
Theo giả thiết ta có $N$ là điểm trên tia $OM$ sao cho $OM.ON=12$ suy ra $\overrightarrow{OM}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}$
Do đó $M\left( \dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)$.
Mặt khác $M\in \left( ABC \right)$ nên $6\dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+2\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-12=0$
$\Leftrightarrow 6x+3y+2z-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-3y-2z=0$.
Do đó điểm $N$ luôn thuộc một mặt cầu cố định $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-3y-2z=0$ có tâm $I\left( 3;\dfrac{3}{2};1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=\dfrac{7}{2}$.
Đáp án A.