Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( 2;0;0 \right)$, $B\left( 0;4;0 \right)$, $C\left( 0;0;6 \right)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $N$ là điểm trên tia $OM$ sao cho $OM.ON=2020$. Biết rằng khi $M$ thay đổi, điểm $N$ luôn thuộc một mặt cầu $\left( S \right)$ cố định. Đường thẳng đi qua $D\left( 0;202;10 \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo một dây cung $EF$,khi đó $EF$ có độ dài ngắn nhất là.
A. $4\sqrt{10226}$.
B. $2\sqrt{10226}$.
C. $3\sqrt{10226}$.
D. $5\sqrt{10226}$.
A. $4\sqrt{10226}$.
B. $2\sqrt{10226}$.
C. $3\sqrt{10226}$.
D. $5\sqrt{10226}$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{5}+\dfrac{z}{101}=1\Leftrightarrow 505x+404y+20z-2020=0$
Gọi $N\left( x;y;z \right)$
Theo giả thiết ta có $N$ là điểm trên tia $OM$ sao cho $OM.ON=2020$ suy ra $\overrightarrow{OM}=\dfrac{2020}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}$
Do đó $M\left( \dfrac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)$.
Mặt khác $M\in \left( ABC \right)$ nên $505\dfrac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+404\dfrac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+20\dfrac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-2020=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0$.
Do đó điểm $N$ luôn thuộc một mặt cầu cố định $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0$.
Dễ thấy $D$ nằm trong mặt cầu, do vậy $EF$ ngắn nhất khi và chỉ khi $ID\bot EF$, trong đó $I\left( \dfrac{505}{2};202;10 \right)$.
Khi đó $F{{E}_{\min }}=2DF=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{D}^{2}}}=2\sqrt{{{\left( \dfrac{505}{2} \right)}^{2}}+{{202}^{2}}+{{10}^{2}}-{{\left( \dfrac{505}{2} \right)}^{2}}}=4\sqrt{10226}$
Gọi $N\left( x;y;z \right)$
Theo giả thiết ta có $N$ là điểm trên tia $OM$ sao cho $OM.ON=2020$ suy ra $\overrightarrow{OM}=\dfrac{2020}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}$
Do đó $M\left( \dfrac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)$.
Mặt khác $M\in \left( ABC \right)$ nên $505\dfrac{2020x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+404\dfrac{2020y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+20\dfrac{2020z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-2020=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0$.
Do đó điểm $N$ luôn thuộc một mặt cầu cố định $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-505x-404y-20z=0$.
Dễ thấy $D$ nằm trong mặt cầu, do vậy $EF$ ngắn nhất khi và chỉ khi $ID\bot EF$, trong đó $I\left( \dfrac{505}{2};202;10 \right)$.
Khi đó $F{{E}_{\min }}=2DF=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{D}^{2}}}=2\sqrt{{{\left( \dfrac{505}{2} \right)}^{2}}+{{202}^{2}}+{{10}^{2}}-{{\left( \dfrac{505}{2} \right)}^{2}}}=4\sqrt{10226}$
Đáp án A.