Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho ba điểm $A\left( 2;0;0...

The Professor · 22/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

cho ba điểm

A (2; 0; 0)

,

B (0; 4; 0)

,

C (0; 0; 6)

. Điểm

M

thay đổi trên mặt phẳng

(A B C)

và

N

là điểm trên tia

O M

sao cho

O M . O N = 2020

. Biết rằng khi

M

thay đổi, điểm

N

luôn thuộc một mặt cầu

(S)

cố định. Đường thẳng đi qua

D (0; 202; 10)

cắt

(S)

theo một dây cung

E F

,khi đó

E F

có độ dài ngắn nhất là.
A.

4 \sqrt{10226}

.
B.

2 \sqrt{10226}

.
C.

3 \sqrt{10226}

.
D.

5 \sqrt{10226}

.

Phương trình mặt phẳng

(A B C) : \frac{x}{4} + \frac{y}{5} + \frac{z}{101} = 1 \Leftrightarrow 505 x + 404 y + 20 z - 2020 = 0

Gọi

N (x; y; z)

Theo giả thiết ta có

N

là điểm trên tia

O M

sao cho

O M . O N = 2020

suy ra

\vec{O M} = \frac{2020}{O N^{2}} . \vec{O N}

Do đó

M (\frac{2020 x}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}; \frac{2020 y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}; \frac{2020 z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}})

.
Mặt khác

M \in (A B C)

nên

505 \frac{2020 x}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + 404 \frac{2020 y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + 20 \frac{2020 z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} - 2020 = 0

\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 505 x - 404 y - 20 z = 0

.
Do đó điểm

N

luôn thuộc một mặt cầu cố định

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 505 x - 404 y - 20 z = 0

.
Dễ thấy

D

nằm trong mặt cầu, do vậy

E F

ngắn nhất khi và chỉ khi

I D ⊥ E F

, trong đó

I (\frac{505}{2}; 202; 10)

.

Khi đó

F E_{min} = 2 D F = 2 \sqrt{R^{2} - I D^{2}} = 2 \sqrt{{(\frac{505}{2})}^{2} + 202^{2} + 10^{2} - {(\frac{505}{2})}^{2}} = 4 \sqrt{10226}

Đáp án A.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm $A\left( 2;0;0...