Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(1; 4; 5 \right)$, $B\left(3; 4; 0 \right)$, $C\left(2; -1; 0 \right)$ và mặt phẳng $\left(P \right): 3x-3y-2z-12=0$. Gọi điểm $M\left(a; b; c \right)$ thuộc $\left(P \right)$ sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a+b+c$.
A. $3.$
B. $2.$
C. $-2$.
D. $-3$.
A. $3.$
B. $2.$
C. $-2$.
D. $-3$.
Gọi $I\left( x; y ;z \right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{3IC}=\overrightarrow{0} \left( * \right)$ và $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IA}\left( 1-x; 4-y; 5-z \right)$, $\overrightarrow{IB}\left( 3-x; 4-y; -z \right)$, $\overrightarrow{IC}\left( 2-x; -1-y; -z \right)$.
Nên $\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1-x+3-x+3\left( 2-x \right) =0 \\
4-y+4-y+3\left( -1-y \right)=0 \\
5-z-z-3z =0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=2 \\
y=1 \\
z=1 \\
\end{matrix} \right. $, suy ra $ I\left( 2; 1 ;1 \right)$.
Có $S=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}$ $={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right)+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ $\ge 5H{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ _const.
Do đó $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ trung với điểm $H$.
Đề tìm tọa độ điểm $H$ ta tính $T=-\left( \dfrac{3.2-3.1-2.1-12}{{{3}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}} \right)=\dfrac{1}{2}.$
Khi đó theo dễ có tọa độ điểm $H$ được tính theo công thức $\left\{ \begin{matrix}
{{x}_{H}}={{x}_{I}}+3.T \\
{{y}_{H}}={{y}_{I}}-3.T \\
{{z}_{H}}={{z}_{I}}-2.T \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{7}{3};-\dfrac{1}{2};0 \right)$
Vậy $a+b+c=3$.
Ta có $\overrightarrow{IA}\left( 1-x; 4-y; 5-z \right)$, $\overrightarrow{IB}\left( 3-x; 4-y; -z \right)$, $\overrightarrow{IC}\left( 2-x; -1-y; -z \right)$.
Nên $\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1-x+3-x+3\left( 2-x \right) =0 \\
4-y+4-y+3\left( -1-y \right)=0 \\
5-z-z-3z =0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=2 \\
y=1 \\
z=1 \\
\end{matrix} \right. $, suy ra $ I\left( 2; 1 ;1 \right)$.
Có $S=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}$ $={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right)+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ $\ge 5H{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ _const.
Do đó $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ trung với điểm $H$.
Đề tìm tọa độ điểm $H$ ta tính $T=-\left( \dfrac{3.2-3.1-2.1-12}{{{3}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}} \right)=\dfrac{1}{2}.$
Khi đó theo dễ có tọa độ điểm $H$ được tính theo công thức $\left\{ \begin{matrix}
{{x}_{H}}={{x}_{I}}+3.T \\
{{y}_{H}}={{y}_{I}}-3.T \\
{{z}_{H}}={{z}_{I}}-2.T \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{7}{3};-\dfrac{1}{2};0 \right)$
Vậy $a+b+c=3$.
Đáp án A.