Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( -1;2;2 \right),B\left( 3;-1;-2 \right),C\left( -4;0;3 \right)$. Tọa độ điểm I trên mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ sao cho biểu thức $\left| \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất là
A. $I\left( -\dfrac{19}{2};0;\dfrac{15}{2} \right)$
B. $I\left( -\dfrac{19}{2};0;-\dfrac{15}{2} \right)$
C. $I\left( \dfrac{19}{2};0;\dfrac{15}{2} \right)$
D. $I\left( \dfrac{19}{2};0;-\dfrac{15}{2} \right)$
A. $I\left( -\dfrac{19}{2};0;\dfrac{15}{2} \right)$
B. $I\left( -\dfrac{19}{2};0;-\dfrac{15}{2} \right)$
C. $I\left( \dfrac{19}{2};0;\dfrac{15}{2} \right)$
D. $I\left( \dfrac{19}{2};0;-\dfrac{15}{2} \right)$
Gọi $K\left( {{x}_{K}};{{y}_{K}};{{z}_{K}} \right)$ sao cho:
$\overrightarrow{KA}-2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow K\left( -\dfrac{19}{2};2;\dfrac{15}{2} \right)$
Ta có: $\left| \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right|=\left| \overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KA}-2\left( \overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KB} \right)+3\left( \overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KC} \right) \right|$
$=\left| 2\overrightarrow{IK}+\left( \overrightarrow{KA}-2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right) \right|=\left| 2\overrightarrow{IK} \right|=2IK$
Do đó: ${{\left| \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow I{{K}_{\min }}\Leftrightarrow IK\bot \left( Oxz \right)$
Hay I là hình chiếu vuông góc của K lên $\left( Oxz \right)\Rightarrow I\left( -\dfrac{19}{2};0;\dfrac{15}{2} \right)$.
$\overrightarrow{KA}-2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow K\left( -\dfrac{19}{2};2;\dfrac{15}{2} \right)$
Ta có: $\left| \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right|=\left| \overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KA}-2\left( \overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KB} \right)+3\left( \overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KC} \right) \right|$
$=\left| 2\overrightarrow{IK}+\left( \overrightarrow{KA}-2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right) \right|=\left| 2\overrightarrow{IK} \right|=2IK$
Do đó: ${{\left| \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow I{{K}_{\min }}\Leftrightarrow IK\bot \left( Oxz \right)$
Hay I là hình chiếu vuông góc của K lên $\left( Oxz \right)\Rightarrow I\left( -\dfrac{19}{2};0;\dfrac{15}{2} \right)$.
Đáp án A.